上海市闵行区2008学年第二学期高三年级质量调研考试

数学试卷（文理科）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚．

2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．

一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，考生应在答题纸上相应编号的空格内

直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1．方程的解                   .

2．（理）若直线经过点，且法向量为，则直线的方程是              

（结果用直线的一般式表示）.

（文）计算                   .

3．（理）若函数则                 .

（文）若，则                   .

4．（理）若是偶函数，则实数                   .

（文）若直线经过点，且法向量为，则直线的方程是              

（结果用直线的一般式表示）.

5．（理）在极坐标系中，两点的极坐标分别为、，为极点，则面积为              .

（文）若，则函数的最大值为           .

6．（理）无穷数列的各项和为                   .

（文）若是偶函数，则实数                   .

7．根据右面的框图，该程序运行后输出的结果为       .

8．（理）已知地球半径为公里，位于赤道上两点、分别在东经和上，则、两点的球面距离为           公里（取3.14，结果精确到1公里）.

（文）已知一个圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的体积为            .

9．（理）一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球、3个绿球和2个红球，将它们充分混合后，摸得一个白球计1分，摸得一个绿球计2分，摸得一个红球计4分，记随机摸出一个球的得分为，则随机变量的数学期望              .

（文）在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施道程序，则满足程序只能出现在最后一步，且程序和程序必须相邻实施的概率为               .

10．（理）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是              .

（文）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是              .

11．（理）对于任意，不等式恒成立，则实数的范围为              .

（文）对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为              .

12．（理）通过研究函数在实数范围内的零点个数，进一步研究可得在实数范围内的零点个数为          .

（文）通过研究方程在实数范围内的解的个数，进一步研究可得函数在实数范围内的零点个数为          .

二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位.

13．（理）“”是“”的                      [答]（    ）

(A) 充分非必要条件.                (B) 必要非充分条件.

(C) 充要条件.                      (D) 既非充分也非必要条件.

（文）“”是“”的                            [答]（    ）

(A) 充分非必要条件.                (B) 必要非充分条件.

(C) 充要条件.                      (D) 既非充分也非必要条件.

14．（理）若，且，则的取值范围是   [答]（    ）

(A) .       (B) .        (C) .       (D) .

（文）若，且，则的最大值是                   [答]（    ）

(A) 2.            (B) 3.            (C) 4.            (D) 5.

15．函数图像上的动点到直线的距离为，点到轴的距离为，则                                           [答]（    ）

(A) 5.            (B).          (C).         (D) 不确定的正数.

16．（理）已知椭圆（为参数）上的点到它的两个焦点、的距离之比，且，则的最大值为[答]（    ）

(A) .            (B) .            (C) .            (D) .

（文）椭圆上的点到它的两个焦点、的距离之比，且，则的最大值为   [答]（    ）

(A) .            (B) .            (C) .            (D) .

三.  解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤．

_{17.（本题满分12分）}

（理）已知的最大值为2，求实数的值．

（文）已知的最大值为2，求实数的值．

_{18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．}

（理）在长方体中，，，，点在棱上移动.

（1）探求等于何值时，直线与平面成角；

（2）点移动为棱中点时，求点到平面的距离．

（文）如图几何体是由一个棱长为2的正方体与一个侧棱长为2的正四棱锥组合而成.

（1）求该几何体的主视图的面积；

（2）若点是棱的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）.

_{19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．}

课本中介绍了诺贝尔奖，其发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达万美元，假设基金平均年利率为.

（1）请计算：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元？当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）？

（2）设表示为第()年诺贝尔奖发奖后的基金总额(1998年记为),试求函数的表达式.并据此判断新民网一则新闻 “2008年度诺贝尔奖各项奖金高达168万美元”是否与计算结果相符，并说明理由.

_{20.（本题满分17分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分7分．}

（理）斜率为1的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点、.

（1）若，求的值；

（2）将直线按向量平移得直线，是上的动点，求的最小值．

（3）设，为抛物线上一动点，是否存在直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.

（文）斜率为1的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点、．

（1）求的值；

（2）将直线按向量平移得直线，是上的动点，求的最小值．

（3）设，为抛物线上一动点，证明：存在一条定直线：，使得被以为直径的圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程．

_{21.（本题满分17分）（理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．第3小题根据不同思维层次表现予以不同评分．}

对于数列

（1）当满足（常数）且（常数），

证明：为非零常数列.

（2）当满足（常数）且（常数），

判断是否为非零常数列，并说明理由.

（3）对（1）、（2）等式中的指数进行推广,写出推广后的一个正确结论,并说明理由.

_{（文）本题共有3个小题，第1、2小题满分各5分，第3小题满分7分．第3小题根据不同思维层次表现予以不同评分．}

对于数列

（1）当满足（常数）且（常数），

证明：为非零常数列.

（2）当满足（常数）且（常数），

判断是否为非零常数列，并说明理由.

（3）对（1）、（2）等式中的指数进行推广,写出推广后的一个正确结论（不用说明理由）.

闵行区2008学年第二学期高三年级质量调研考试

一、填空题：（每题5分）

1. ；        2. 理：、文：；                      　3. 理：0、文：0；

4.理：0、文：；     5.理：；文：40；   6.理：、文：0；

7. ；          8.理：、文：；             9.理：、文：；

10.理：、文：；   11.理：、文：0；   12.理：当为大于3的偶数时，个零点；当为大于或等于3的奇数时，个零点、文：个零点.

二、选择题：（每题4分）13. ；  14. ；  15. ； 16.

三、解答题：

17.（本题满分12分）

(理) 解：按行列式展开可得：

  (3分)

  (6分)

，(9分)

从而可得：．(12分)

 (文) 解：按行列式展开可得           (3分)

        (6分)

由题意得：    (9分)   ．(12分)

_{18.（本题满分14分）}

（理）解：（1）法一：长方体中，因为点E在棱AB上移动，所以平面，从而为直线与平面所成的平面角，(3分)

中，.  (6分)

法二：以为坐标原点，射线DA、DC、DD₁依次为x、y、z轴,建立空间直角坐标系，则点，平面的法向量为，设，得，(3分)由，得，故    (6分)

（2）以为坐标原点，射线DA、DC、DD₁依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点，， ，

从而，，      (3分)

设平面的法向量为，由

令， (5分)

所以点到平面的距离为.  (8分)

（文）解：（1）画出其主视图（如下图），

可知其面积为三角形与正方形面积之和.

在正四棱锥中，棱锥的高， (2分)

. (6分)

（2）取中点，联结，

则为异面直线与所成角.        (2分)

在中，，

又在正四棱锥中，斜高为， (4分)

由余弦定理可得                    (6分)

所以，异面直线与所成的角为.  (8分)

_{19.（本题满分14分）}

解：（1）由题意知：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为

万美元；  (3分)

每项奖金发放额为万美元；  (6分)

（2）由题意知：，

，

所以， （）.       (5分)

2007年诺贝尔奖发奖后基金总额为

2008年度诺贝尔奖各项奖金额为万美元，

与168万美元相比少了34万美元，计算结果与新闻不符.                (8分)

1千万瑞典克朗怎么换成美元成了，137，154，168万美元？

_{20.（本题满分17分）}

（理）

解：（1）设，时，直线：代入中

可得：                                            （2分）

则，由定义可得：.                 （4分）

（2）直线：，代入中，可得：

则，，设，

则

即  （2分）

由                     （4分）

则

当时，的最小值为．                            （6分）

（3）假设满足条件的直线存在，其方程为，

设的中点为，与以为直径的圆相交于点、，设的中点为，

则，点的坐标为．

，

，                                  （2分）

，

．                    （5分）

令，得，此时为定值，

故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线． （7分）

（文）（1）设，直线：代入中

可得：                                            （2分）

则，由定义可得：.                 （4分）

（2）由（1）可设，

则

即  （2分）

由，，                       （4分）

则

当时，的最小值为．                              （6分）

（3）设的中点为，与以为直径的圆相交于点、，

设的中点为，则，点的坐标为．

，

，                                （2分）

，

．                         （5分）

令，得，此时为定值，

故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．   （7分）

_{21.（本题满分17分）}

（理）解：（1）（法一）

当时，，所以；

当时，是一常数，矛盾，所以为非零常数列；      （4分）

（法二）设，则有：，

即

所以，解得.由此可知数列为非零常数列；     （4分）

（2）记，由（1）证明的结论知： 为非零常数列.          （2分）

显然，为非零常数列时，不一定为非零常数列,如:非常数数列（为大于的正常数）和常数列为非零常数）均满足题意要求. （5分）

（3）根据不同思维层次表现予以不同评分．

仅推广到3次方或4次方的结论或者是特殊次方的结论     （结论1分，解答1分）

满足（常数）且（常数），则当为奇数时，必为非零常数列；当为偶数时，不一定为非零常数列.

事实上，记，由（1）证明的结论知：为非零常数列，即为非零常数列.所以当为奇数时，为非零常数列；当为偶数时，不一定为非零常数列.                                             （结论2分，解答2分）

或者：设，即，则,即对一切均为常数，则必有，即有，当为奇数时，，当为偶数时，或者.

满足（常数）且（常数），且为整数，

当均为奇数时，必为非零常数列；否则不一定为常数列.

事实上，条件（正常数）可以转化为（常数），整个问题转化为，结论显然成立.                                （结论3分，解答3分）

或者：设,即，当为奇数时，有,则，即对一切均为常数，则必有，即有，则，当为偶数时，如反例：,它既满足次方后是等差数列，又是（不管为奇数还是偶数）次方后成等比数列，但它不为常数列.

满足（常数）且（常数）,为有理数，, 则必为非零常数列；否则不一定为常数列.

证明过程同                                      （结论4分，解答3分）

满足（常数）且（常数），且为实数，,

是不等于1的正数数列，则必为非零且不等于1的常数列；否则不一定为常数列.

事实上，当，为实数时，条件同样可以转化为,记，由第（1）题的结论知：必为不等于1的正常数数列，也即为不等于1的正常数数列，，从而也是不等于1的正常数数列.

（结论5分，解答3分）

（文）解：（1）（法一）  （2分）

当时，，所以；

当时，是一常数，矛盾，所以为非零常数列；      （5分）

（法二）设，则有：，

即                                         （2分）

所以，解得.由此可知数列为非零常数列；     （5分）

（2）记，由（1）证明的结论知： 为非零常数列.          （2分）

显然，为非零常数列时，不一定为非零常数列,如:非常数数列（为大于的正常数）和常数列为非零常数）均满足题意要求. （5分）

（3）根据不同思维层次表现予以不同评分．

仅推广到3次方或4次方的结论或者是特殊次方的结论               （结论1分）

满足（常数）且（常数），则当为奇数时，必为非零常数列；当为偶数时，不一定为非零常数列.

事实上，记，由（1）证明的结论知：为非零常数列，即为非零常数列.所以当为奇数时，为非零常数列；当为偶数时，不一定为非零常数列.                                                     （结论3分）

或者：设，即，则,即对一切均为常数，则必有，即有，当为奇数时，，当为偶数时，或者.

满足（常数）且（常数），且为整数，

当均为奇数时，必为非零常数列；否则不一定为常数列.

事实上，条件（正常数）可以转化为（常数），整个问题转化为，结论显然成立.                                        （结论5分）

或者：设,即，当为奇数时，有,则，即对一切均为常数，则必有，即有，则，当为偶数时，如反例：,它既满足次方后是等差数列，又是（不管为奇数还是偶数）次方后成等比数列，但它不为常数列.

满足（常数）且（常数）,