练习册

  • 练习册
  • 试题

    江苏省通州市2009年高三查漏补缺专项检测

    数学试卷

    （考试时间：120分钟    满分160分）

    一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

    1．函数的定义域为           .

    试题详情

    2．已知复数与均为纯虚数，则等于               ．

    试题详情

    3．已知向量，向量满足∥，且，则=               。

    试题详情

    4．在等比数列{an}中，已知a4＋a10=10，且，则=          ．

    试题详情

    5．已知命题：“，使x2+2x+a≥0”为真命题，则a的取值

    范围是              ．

    试题详情

    6．如图，程序执行后输出的结果为             ．   

    试题详情

    7．下列命题正确的序号是_____       ．

    试题详情

    （其中l，m表示直线，表示平面） 

    试题详情

    (1)若；      (2)若；

    试题详情

    (3)若；             (4)若

    试题详情

    8． 用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，

    则它的体积的最大值与最小值之差为　　　 　　　　．

    试题详情

    9．已知，则当mn取得最小值时，椭圆的离心率为                ．

    试题详情

    10．对任意两个集合A、B，定义：，，设，，则                 

    试题详情

    11．若，且当时，恒有，则以,b为坐标点 所形成的平面区域的面积等于                 ．

    试题详情

    12．已知两个不共线的向量，的夹角为，且.若点M在直线OB上，且的最小值为，则的值为           ．

    试题详情

    13．设函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是           _                .

    试题详情

    14．f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足，对任意正数a、b，若a＜b，则的大小关系为                ．

    试题详情

    二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

    15．（本题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

       （1）判断△ABC的形状；

    试题详情

       （2）若的值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    试题详情

    16．（本题满分14分）一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，E为侧棱PD的中点.

    （1）求证：PB//平面AEC；  

    试题详情

    （2）若F为侧棱PA上的一点，且， 则为何值时，PA平面BDF？ 并求此时几何体F―BDC的体积．

    试题详情

    B

    B

    试题详情

    试题详情

    试题详情

    试题详情

    试题详情

    试题详情

                                 

    试题详情

    试题详情

     

     

     

     

     

    试题详情

    17．（本题满分15分）已知圆A：与轴负半轴交于B点，过B的弦BE与轴正半轴交于D点，且2BD=DE，曲线C是以A，B为焦点且过D点的椭圆．

    （1）求椭圆的方程；

    （2）点P在椭圆C上运动，点Q在圆A上运动，求PQ+PD的最大值．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    试题详情

    18．（本题满分15分）

    如图所示，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABEF，它的宽为1米。直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；

    试题详情

    ⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠，试求平板面的长(用表示)；

    试题详情

    ⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    试题详情

    19．（本题满分16分）已知数列的前n项和为，点在直线上．数列满足： ，且，前9项和为153．

    试题详情

    （1）求数列，的通项公式；

    试题详情

    （2）设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；

    试题详情

    （3）设*，问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    试题详情

    20．（本题满分16分）函数．

       （1）试求f(x)的单调区间；

       （2）当a>0时，求证：函数f(x)的图像存在唯一零点的充要条件是a=1；

    试题详情

    （3）求证：不等式对于恒成立．

     

     

     

     

     

     

     

    数学附加题

    考试时间：30分钟    满分40分

      分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程．

    试题详情

    一、选答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题．如果多做，则按所做的前两题记

    1.(选修4一l：几何证明选讲)

    试题详情

    如图，圆O的直径,C为圆周上一点，,过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E。求的度数与线段AE的长。

    试题详情

    2.(选修4―2：矩阵与变换)

    试题详情

    已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A．

    试题详情

    3.(选修4―4：坐标系与参数方程)

    试题详情

    已知直线和参数方程为 ,是椭圆上任意一点，求点到直线的距离的最大值．

    试题详情

    4.(选修4―5：不等式选讲)

    试题详情

       已知f(x)＝定义在区间[－1，1]上,设x1，x2∈[－1，1]且x1≠x2．

    试题详情

    (1)求证: | f(x1)－f(x2)|≤| x1－x2| (2)若a2＋b2＝1，求证：f(a)＋f(b) ≤．

    选做题一：

     

     

     

     

     

     

     

    选做题二：

     

     

     

    试题详情

    二、必答题：本大题共2小题。每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程．

    5. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．设复数(i是虚数单位)。

    试题详情

    （1）求事件“为实数”的概率；

    试题详情

    （2）求事件“”的概率。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    试题详情

    6. 如图，直三棱柱A1B1C1―ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.

    试题详情

    （1）求与平面A1C1CA所成角的正切值；

    (2) 求二面角B―A1D―A的平面角的正切值；

    （3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？

     

    试题详情

    一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

    1．　2．2i　3．（）或（）　4．16　　5．a≥-8     6．64       7．（1）(3)(4)  8．6    9． 　 10．  11．1　     12．   13．(－∞，1)

    14．，提示：设，则，故为增函数，由a＜b，有，也可以考虑特例，如f(x)=x2

    二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

    15．（1）                     

                                              5分

    即

                                                     

    为等腰三角形.                                             8分

    （2）由（I）知

                            12分

                                                               14分

    16．（1）由图形可知该四棱锥和底面ABCD是菱形，且有一角为，边长为2，

    锥体高度为1。

    设AC，BD和交点为O，连OE，OE为△DPB的中位线，

    OE//PB，                                             3分

    EO面EAC，PB面EAC内，PB//面AEC。          6分

    （2）过O作OFPA垂足为F , 

    在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△POB中，PO=1，BO=1，PB=，   8分

    过B作PA的垂线BF，垂足为F，连DF，由于△PAB≌△PAD，故DF⊥PA，DF∩BF=F，因此PA⊥面BDF.                                                  10分

    在等腰三角形PAB中解得AF=,进而得PF=               

    即当时，PA面BDF，                       12分

    此时F到平面BDC的距离FH=

                14分

    17．(1)                     4分

    椭圆方程为                                7分

    （2）         10分

    ＝2       14分

    所以P在DB延长线与椭圆交点处，Q在PA延长线与圆的交点处，得到最大值为．  15分

    18．（1）DM=，DN=，MF=，EN=，                          4分

    =EF=DM+DN-MF-EN=+－－

    =       （）                                        7分

    （2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角（），平板车的长度不能超过，即平板车的长度；记 ，有=，

    ===，                                            10分

    此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记，则）或直接求导，以确定函数在上的单调性；当时取得最小值。                    15分

    19． (1)点(n，)在直线y＝x＋上，∴＝n＋，即Sn＝n2＋n，

    an＝n＋5．                                                                     3分

    ∵bn+2－2bn+1＋bn＝0(nÎN*)，∴bn+2－bn+1＝ bn+1－bn＝…＝ b2－b1．

    ∴数列{bn}是等差数列，∵b3＝11，它的前9项和为153，设公差为d，

    则b1＋2d＝11，9b1＋×d＝153，解得b1＝5，d＝3．∴bn＝3n＋2．                  6分

    (2)由(1)得，cn＝ ＝ ＝(－)，

    ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)

    ＝(1－)．                                                           9分

    ∵Tn＝(1－)在nÎN*上是单调递增的，∴Tn的最小值为T1＝．

    ∵不等式Tn＞对一切nÎN*都成立，∴＜．∴k＜19．∴最大正整数k的值为18．11分

    (3) nÎN*，f(n)＝＝

    当m为奇数时，m＋15为偶数；当m为偶数时，m＋15为奇数．

    若f(m＋15)＝5f(m)成立，则有3（m＋15）＋2＝5(m＋5)(m为奇数)

    或m＋15＋5＝5（3m＋2）(m为偶数)．                                      13分

    解得m＝11．所以当m＝11时，f(m＋15)＝5f(m)．                             16分

    20．（1）．                                       2分

      　当时，，在上单调递增；                     3分

     　 当时，时，，在上单调递减；         

    时，，在上单调递增．                 5分

    综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．                                         6分

    （2）充分性：a=1时，由（1）知，在x=1处有极小值也是最小值，

    即。而在上单调递减，在上单调递增，

    在上由唯一的一个零点x=1．                               9分

    必要性：=0在上有唯一解，且a>0, 由（1）知，在x=a处有极小值也是最小值f(a)，f(a)=0,即．

    令，．

    当时，，在上单调递增；当a>1时，，

    在上单调递减。，=0只有唯一解a=1．

    =0在上有唯一解时必有a=1．                           12分

    综上：在a>0时，=0在上有唯一解的充要条件是a=1．

    （3）证明：∵1<x<2,∴.

     令，∴，14分

    由（1）知，当a=1时，，∴，∴．

    ∴，∴F（x）在（1，2）上单调递增，∴，

    ∴。∴．             16分

     

    附加题答案

    1．解：如图，连结OC，因,因此,由于,

    所以，又得;      5分   

    又因为,得,那么,

    从而，于是。            10分   

    2．解：设A=，由题知=，=3 

    即，                      5分

     ∴         ∴A=       10分

    3．解： 直线的参数方程为 为参数）故直线的普通方程为  3分

       因为为椭圆上任意点，故可设其中.

      因此点到直线的距离是            7分

    所以当，时，取得最大值.                              10分 

    4. 证（1）　

    ∵，，

    ∴| f(x1)－f(x2)|＜| x1－x2|                       5分   

    （2），∴f(a)＋f(b) ≤

    ∵    ，

    ∴                     10分

     5.解：（1）为实数，即为实数，  ∴b＝3            2分

    又依题意，b可取1，2，3，4，5，6

    故出现b＝3的概率为

    即事件“为实数”的概率为                                            5分

    （2）由已知，                           6分

    可知，b的值只能取1、2、3                          

    当b＝1时， ，即a可取1，2，3

    当b＝2时， ，即a可取1，2，3

    当b＝3时， ，即a可取2                

    由上可知，共有7种情况下可使事件“”成立                           9分

    又a，b的取值情况共有36种

    故事件“”的概率为                                           10分

    6.解：（1）∵A1B1C1－ABC为直三棱柱  ∴CC1⊥底面ABC  ∴CC1⊥BC

           ∵AC⊥CB   ∴BC⊥平面A1C1CA

    ∴A1B与平面A1C1CA所成角的正切值               3分

    （2）分别延长AC，A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M，连结BM

    ∵BC⊥平面ACC­1A1   ∴CM为BM在平面A1C1CA的内射影

    ∴BM⊥A1G    ∴∠CMB为二面角B―A1D―A的平面角

        平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点

    ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，  

       , 

    即二面角B―A1D―A的平面角的正切值为     6分

    （3）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A1BD .

    其位置为AC中点，证明如下：

    ∵A1B1C1―ABC为直三棱柱 ， ∴B1C1//BC

    ∵由（1）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA

    ∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F ，F为AC中点 ∴C1F⊥A1D  ∴EF⊥A1D

    同理可证EF⊥BD,         ∴EF⊥平面A1BD

    ∵E为定点，平面A1BD为定平面,点F唯一            10分

    解法二：（1）同解法一                               3分

    （2）∵A1B1C1―ABC为直三棱住   C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB  D、E分别为C1C、B1C1的中点, 建立如图所示的坐标系得

    C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0）

    C1（0，0，2）  B1（2，0，2）  A­1（0，2，2）

    D（0，0，1）  E（1，0，2）

      设平面A1BD的法向量为

      

    平面ACC1A1­的法向量为=（1，0，0） 

    即二面角B―A1D―A的平面角的正切值为               6分

    （3）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD

    欲使EF⊥平面A1BD    由（2）知，当且仅当//

       

    ∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件. 即点F为AC中点        10分

     

     


    同步练习册答案