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扬州市2008―2009学年度第二学期高三第三次调研测试试题
2009.5
全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．
注意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．
2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．
参考公式：
第 一 部 分
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1． 已知全集为R，若集合，，则 ▲ ．
试题详情
2． 在上的单调递增区间是 ▲ ．
3． 已知函数，则 ▲ ．
4． 已知变量满足，则的最大值是 ▲ ．
5． 已知集合在平面直角坐标系中，点的坐标。则点M不在x轴上的概率是 ▲ ．
6． 已知函数，，的零点依次为，则由小到大的顺序是 ▲ ．
7． 如图，程序执行后输出的结果为 ▲ ．
8． 抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则此抛物线的方程为 ▲ ．
9． 扬州市统计局就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在）。为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这人中分层抽样抽出人作进一步分析，则月收入在的这段应抽 ▲ 人．
10． 在所有棱长都相等的三棱锥P―ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个命题：
①BC∥平面PDF ②DF∥平面PAE
③平面PDF⊥平面ABC ④平面PDF⊥平面PAE
其中正确命题的序号为 ▲ ．
11． 如果满足∠ABC=60°，， 的△ABC只有两个，那么的取值范围是 ▲ ．
12． 如图,在中，，是边上一点，，则 ▲ ．
13． 有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B.直线AB恒过一定点 ▲ ．
14． 已知一个 数列的各项是1或2，首项为1，且在第个1和第个1之间有个2，即则该数列前2009项的和=
▲ ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分14分）
在△ABC中，BC=1，，
（Ⅰ）若，求AB；
（Ⅱ）若，求．
16．（本题满分14分）
已知三棱柱ABC―A1B1C1的三视图如图所示，其中主视图AA1B1B和左视图B1BCC1均为矩形，D是底面边AB的中点．
(Ⅰ) 在三棱柱ABC―A1B1C1中，求证：AC1∥平面CDB1；
(Ⅱ) 是棱AA1上一点，，AC=BC，求证DE⊥B1C．
17．（本题满分15分）
诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增。假设基金平均年利率为。资料显示：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19800万美元。设表示为第()年诺贝尔奖发奖后的基金总额(1999年记为)。
（Ⅰ）用表示与，并根据所求结果归纳出函数的表达式。
（Ⅱ）试根据的表达式判断网上一则新闻 “2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由。
（参考数据：，）
18．（本题满分15分）
如图，已知椭圆的左顶点，右焦点分别为，右准线为。圆D：。
（Ⅰ）若圆D过两点，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线上不存在点Q，使为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若直线与轴的交点为，将直线绕顺时针旋转得直线，动点P在直线上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值。
19．（本题满分16分）
如图，在直角坐标系中，有一组底边长为的等腰直角三角形，底边依次放置在轴上（相邻顶点重合），点的坐标为，。
（Ⅰ）若在同一条直线上，求证数列是等比数列；
（Ⅱ）若是正整数，依次在函数的图象上，且前三个等腰直角三角形面积之和不大于，求数列的通项公式。
20．（本题满分16分）
已知函数
（Ⅰ）设，求的取值范围；
（Ⅱ）关于的方程，，存在这样的值，使得对每一个确定的，方程都有唯一解，求所有满足条件的。
（Ⅲ）证明：当时，存在正数，使得不等式，成立的最小正数，并求此时的最小正数。
第二部分（加试部分）
（总分40分，加试时间30分钟）
答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷密封线内．解答过程应写在答题卷的相应位置上，在其它地方答题无效。
【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21．A.选修4―1：几何证明选讲
已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC。若AD＝2，AE＝1，求CD的长。
B.选修4―2：矩阵与变换
变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应用的变换矩阵是。
（Ⅰ）求点在作用下的点的坐标；
（Ⅱ）求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程。
C.选修4―4：极坐标与参数方程
求以点为圆心，且过点的圆的极坐标方程。
D.选修4―5：不等式选讲
证明不等式：
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22．过点A（2，1）作曲线的切线l．
（Ⅰ）求切线l的方程；
（Ⅱ）求切线l，x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S．
23．某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行4次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不再参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加4次测试。假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立.
（Ⅰ）求该学生在前两次测试中至少有一次通过的概率；
（Ⅱ）如果考上大学或参加完4次测试，那么测试就结束.记该生参加测试的次数为，求的分布列及的数学期望.
扬州市2008―2009学年度第二学期调研测试
一、填空题：
1． 2． 3．1 4．16
5． 6． 7．64 8．
9．25 10．①④ 11． 12．
13． 14．
二、解答题：
15．解：（Ⅰ）依题意：，
即，解之得，（舍去） …………………7分
（Ⅱ），∴ ，， ………………………9分
∴ …………………………………11分
． ……………………………………………14分
16．解：（Ⅰ）因为主视图和左视图均为矩形、所以该三棱柱为直三棱柱．
连BC1交B1C于O，则O为BC1的中点，连DO。
则在中，DO是中位线，
∴DO∥AC1． ………………………………………………………4分
∵DO平面DCB1，AC1平面DCB1，
∴AC1∥平面CDB1． ………………………………………………………7分
（Ⅱ）由已知可知是直角三角形，．
∵ ，
∴ 平面，平面，
∴ 。
∴ 平面，
又平面，
17．解：（Ⅰ）由题意知：，
一般地： ，…4分
∴ （）。……………………………………7分
（Ⅱ）2008年诺贝尔奖发奖后基金总额为：
，…………………………………………10分
2009年度诺贝尔奖各项奖金额为万美元， ………12分
与150万美元相比少了约14万美元。 …………………………………………14分
答：新闻 “2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”不真，是假新闻。……15分
18．解：（Ⅰ）圆与轴交点坐标为，
，，故， …………………………………………2分
所以，
椭圆方程是： …………………………………………5分
（Ⅱ）设直线与轴的交点是，依题意，
即,
,
（Ⅲ）直线的方程是，…………………………………………………6分
圆D的圆心是，半径是，……………………………………………8分
设MN与PD相交于，则是MN的中点，且PM⊥MD，
……10分
当且仅当最小时，有最小值，
最小值即是点到直线的距离是，…………………12分
所以的最小值是。 ……………………………15分
19．解：（Ⅰ）点的坐标依次为，，…，
，…， ……………………………2分
则，…，
若共线；则，
即，
即， ……………………………4分
，
所以数列是等比数列。 ……………………………………………6分
（Ⅱ）依题意，
两式作差，则有：， ………………………8分
又，故， ……………………………………………10分
即数列是公差为的等差数列；此数列的前三项依次为
由，可得，
故，或，或。 ………………………………………12分
数列的通项公式是，或，或。 ………14分
由知，时，不合题意；
时，不合题意；
时，；
所以，数列的通项公式是。 ……………………………………16分
20．解：（Ⅰ）函数定义域，
， ……………………………………………4分
（Ⅱ），由（Ⅰ）
，，
，单调递增，
所以。
设，
则，
即，也就是。
所以，存在值使得对一个，方程都有唯一解。………10分
（Ⅲ），
以下证明，对的数及数，不等式不成立。
反之，由，亦即成立，
因为，，
但，这是不可能的。这说明是满足条件的最小正数。
这样不等式恒成立，
即恒成立，
∴ ，最小正数=4 。……………………16分
21．（A）解：AD2=AE?AB，AB=4，EB=3 ……………………………………4分
△ADE∽△ACO， ……………………………………………8分
CD=3 ……………………………………………10分
（B）解：（Ⅰ），
所以点在作用下的点的坐标是。…………………………5分
（Ⅱ），
设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，
也就是，即，
所以，所求曲线的方程是。……………………………………………10分
（C）解：由已知圆的半径为，………4分
又圆的圆心坐标为，所以圆过极点，
所以，圆的极坐标方程是。……………………………………………10分
（D）证明：
＜ ……………………………………6分
=2－
＜2 ……………………………………10分
22．解：（Ⅰ）∵，∴，
∴切线l的方程为，即．……………………………………………4分
（Ⅱ）令＝0，则．令＝0，则x＝1．
∴A＝＝＝．………………10分
23．解：（Ⅰ）记“该生在前两次测试中至少有一次通过”的事件为事件A，则
P(A)=
答：该生在前两次测试中至少有一次通过的概率为。 …………………………4分
（Ⅱ）参加测试次数的可能取值为2，3，4，
， ……………………………………………7分
故的分布列为：
2
3
4
……………………………………………10分
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全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．
，
，则
▲ ．
在
上的单调递增区间是 ▲ ．
，则
▲ ．
已知变量
满足
，则
的最大值是 ▲ ．
在平面直角坐标系中，点
的坐标
。则点M不在x轴上的概率是 ▲ ．
，
，
的零点依次为
的焦点到双曲线
的一条渐近线的距离为
，则此抛物线的方程为 ▲ ．
人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在
）。为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这
人作进一步分析，则月收入在
的这段应抽 ▲ 人． 
， 
的△ABC只有两个，那么
的取值范围是 ▲ ．
中，
，
是边
上一点，
，则
▲ ．
上一点
处的切线方程为
”，类比也有结论：“椭圆
处的切线方程为
”，过椭圆C：
的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B.直线AB恒过一定点 ▲ ．
个1和第
个1之间有
个2，即
则该数列前2009项的和
=
，
，求AB；
，求
．
16．（本题满分14分）
边AB的中点．
是棱AA1上一点，
，AC=BC，求证DE⊥B
。资料显示：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19800万美元。设
表示为第
(
)年诺贝尔奖发奖后的基金总额(1999年记为
)。
表示
与
，并根据所求结果归纳出函数
，
）
如图，已知椭圆
的左顶点，右焦点分别为
，右准线为
。圆D：
。
为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。
，将直线
绕
得直线
中，有一组底边长为
的等腰直角三角形
，底边
依次放置在
轴上（相邻顶点重合），点
的坐标为
，
。
在同一条直线上，求证数列
是等比数列；
是正整数，
的图象上，且前三个等腰直角三角形面积之和不大于
，求数列
，求
的取值范围； 
的方程
，
，存在这样的
值，使得对每一个确定的
时，存在正数
，使得不等式
，成立的最小正数
，并求此时的最小正数
已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC。若AD＝2，AE＝1，求CD的长。
是逆时针旋转
的旋转变换，对应的变换矩阵是
；变换
对应用的变换矩阵是
。
在
的坐标；
为圆心，且过点
的圆的极坐标方程。
的切线l．
，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立.
，求
2．
3．1 4．16
6．
7．64 8．
12． 
14．
，
，解之得
，
（舍去） …………………7分
，∴ 
，
， ………………………9分
…………………………………11分
． ……………………………………………14分
中，DO是中位线，
平面DCB1，AC1
平面DCB1，
是直角三角形，
．
，
平面
，
平面
。
，
平面
，
平面
。
，
，…4分
（
）。……………………………………7分
，…………………………………………10分
万美元， ………12分
与
轴交点坐标为，
，
，故
， …………………………………………2分
，
…………………………………………5分
与
，依题意
，
,
,
,
,
的方程是
，…………………………………………………6分
，半径是
，……………………………………………8分
，则
……10分
最小时，
有最小值，
到直线
，…………………12分
。 ……………………………15分
点的坐标依次为
，
，…，
，…，
……………………………2分
，
…，
共线；则
，
，
， ……………………………4分
，
，
是等比数列。
……………………………………………6分
，
，
， ………………………8分
，故
， ……………………………………………10分
的等差数列；此数列的前三项依次为
，
，可得
，
，或
，或
。
………………………………………12分
，或
，或
。 ………14分
知，
不合题意；
不合题意；
； 
，
， ……………………………………………4分
，由（Ⅰ）
，
，
，
单调递增，
。
，
，
，也就是
。
值使得对一个
，方程都有唯一解
。………10分
，
，
的数
及数
，不等式
不成立。
成立，
，
，
，这是不可能的。这说明
恒成立，
，最小正数
=4 。……………………16分
，
在
作用下的点
的坐标是
。…………………………5分
，
是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是
，
，
，即
，
。……………………………………………10分
，………4分
，所以圆过极点，
。……………………………………………10分
……………………………………6分
，∴
，
，即
．……………………………………………4分
＝0，则
．令
＝
＝
．………………10分
。 …………………………4分
的可能取值为2，3，4，
，
，
， ……………………………………………7分
……………………………………………10分