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    上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研

                     数学试卷 （文科）                 2009.04

    说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。

     

    一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分.

    1．若复数（是虚数单位），则           . 

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    2. 不等式的解集为            .

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    3. 已知函数，是的反函数，若的图像过点，则           .

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    4. 用金属薄板制作一个直径为米，长为3米的圆柱形通风管.若不计损耗，则需要原材料

                 平方米（保留3位小数）.

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    5. 关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则          .

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    6. 设、是平面内一组基向量，且、，则向量可以表示为另一组基向量、的线性组合，即                .

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    7. 右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出的结果所表示的分段函数为                 .

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    8. 已知非负实数、满足不等式组则目标函数的最大值为           .

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    9. 正方体骰子六个表面分别刻有的点数. 现同时掷了两枚骰子，则得到的点数之和大于10的概率为           .

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    10. 设联结双曲线与（，）的个顶点的四边形面积为，联结其个焦点的四边形面积为，则的最大值为            .

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    11. 将函数的图像向左平移（）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为           .

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    12. 已知数列是首项为、公差为1的等差数列，数列满足.若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是          .

     

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    二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.

    13. 以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是 （    ）

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       A． ；    B. ；    C. ;     D. .

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    14. 若，（、），则                 （    ）

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       A. ；            B. ;            C. ;              D. .

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    15.  在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的              （    ）

       A．必要非充分条件； B．充分非必要条件； C．充要条件；   D．既非充分又非必要条件.

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    16. 现有两个命题：

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    （1）     若，且不等式恒成立，则的取值范围是集合；

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    （2）     若函数，的图像与函数的图像没有交点，则的取值范围是集合；

    则以下集合关系正确的是                                                   （    ）

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    A． ；       B. ；       C. ；      D.  .

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    三、解答题（本大题满分74分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.

    17. （本题满分12分）设数列的前项和为，. 对任意，向量、都满足，求.                         

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    18. （本题满分14分）已知复数，（是虚数单位），且.当实数时，试用列举法表示满足条件的的取值集合.

     

     

     

     

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    19.（本题满分14分）如图，圆锥体是由直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所得，.设点为圆锥体底面圆周上一点，，且的面积为3. 求该圆锥体的体积.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

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    某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部是矩形，其中米，米.上部是个半圆，固定点为的中点.是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆（和不重合）.

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    （1）当和之间的距离为1米时，求此时三角通风窗的通风面积；

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    （2）设与之间的距离为米，试将三角通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数；

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    （3）当与之间的距离为多少米时，三角通风窗的通风面积最大？并求出这个最大面积.

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    21. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）

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    已知等轴双曲线（）的右焦点为，为坐标原点. 过作一条渐近线的垂线且垂足为，．

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    （1）求等轴双曲线的方程；

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    （2）假设过点且方向向量为的直线交双曲线于、两点，求的值；

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    （3）假设过点的动直线与双曲线交于、两点，试问：在轴上是否存在定点，使得为常数.若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由．

     

     

     

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    一、填空题（每题5分，理科总分55分、文科总分60分）：

    1. ；      2. 理：2；文：；      3. 理：1.885；文：2；

    4. 理：；文：1.885；   5. 理：；文：4；   6. 理：；文：；

    7. 理：；文：；     8. 理：；文：6；    9. 理：；文：；

    10. 理：1； 文：；    11. 理：；文：；     12. 文：；

    二、选择题（每题4分，总分16分）：

    题号

    理12；文13

    理13；文14

    理：14；文：15

    理15；文：16

    答案

    A

    C

    B

    C

     

    三、解答题：

    16.（理，满分12分）

    解：因为抛物线的焦点的坐标为，设、，

    由条件，则直线的方程为，

    代入抛物线方程，可得，则.

    于是，.

     

    …2

     

     

    …4

     

    …8

     

     

    …12

    17.（文，满分12分）

    解：因为，所以由条件可得，.

    即数列是公比的等比数列.

    又，

    所以，.

     

     

     

    …4

     

    …6

     

     

    …8

     

    …12

    （理）17.（文）18. （满分14分）

    解：因为

    所以，

    即或，

    或，

    又由，即

    当时，或；当时，或.

    所以，集合.

     

     

     

    …3

     

     

    …7

     

     

     

    …11

     

     

     

     

     

     

    …14

    18.(理，满分15分，第1小题6分，第2小题9分）

    解：（1）当时，

     

    故，，所以.

    （2）证：由数学归纳法

    （i）当时，易知，为奇数；

    （ii）假设当时，，其中为奇数；

    则当时，

             

    所以，又、，所以是偶数，

    而由归纳假设知是奇数，故也是奇数.

    综上（i）、（ii）可知，的值一定是奇数.

    证法二：因为

    当为奇数时，

    则当时，是奇数；当时，

    因为其中中必能被2整除，所以为偶数，

    于是，必为奇数；

    当为偶数时，

    其中均能被2整除，于是必为奇数.

    综上可知，各项均为奇数.

     

     

    …3

     

     

     

     

     

     

    …6

     

     

     

     

    …8

     

     

     

     

    …10

     

     

     

    …14

     

    …15

     

     

     

     

     

     

     

     

    …10

     

     

     

     

    …14

     

    …15

    19. （文，满分14分）

    解：如图，设中点为，联结、.

    由题意，,,所以为等边三角形，

    故，且.

    又，

    所以.

    而圆锥体的底面圆面积为,

    所以圆锥体体积.

     

     

     

     

    …3

     

     

     

    …8

     

    …10

     

    …14

    （理）19. （文）20. （满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

    解：（1）由题意，当和之间的距离为1米时，应位于上方，

    且此时中边上的高为0.5米.

    又因为米，可得米.

    所以，平方米，

    即三角通风窗的通风面积为平方米.

    （2）1如图（1）所示，当在矩形区域滑动，即时，

    的面积；

    2如图（2）所示，当在半圆形区域滑动，即时，

    ，故可得的面积

     

    ；

    综合可得：

    （3）1当在矩形区域滑动时，在区间上单调递减，

    则有；

    2当在半圆形区域滑动时，

    ，

    等号成立，.

    因而当（米）时，每个三角通风窗得到最大通风面积，最大面积为（平方米）.

     

     

     

     

    …2

     

     

     

     

    …4

     

     

     

     

     

     

    …6

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    …9

     

     

     

     

     

    …10

     

     

     

     

     

    …12

     

     

     

     

     

     

    …15

     

     

     

    …16

    21（文，满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）

    解：（1）设右焦点坐标为（）.

    因为双曲线C为等轴双曲线，所以其渐近线必为，

    由对称性可知，右焦点到两条渐近线距离相等，且.

    于是可知，为等腰直角三角形，则由，

    又由等轴双曲线中，.

    即，等轴双曲线的方程为.

    （2）设、为双曲线直线的两个交点.

    因为，直线的方向向量为，直线的方程为

    .

    代入双曲线的方程，可得，

    于是有

    而

              .

    （3）假设存在定点，使为常数，其中，为直线与双曲线的两个交点的坐标.

       ①当直线与轴不垂直时，设直线的方程为

    代入，可得.

       由题意可知，，则有 ，．

    于是，

    要使是与无关的常数，当且仅当，此时.

     ②当直线与轴垂直时，可得点,，

     若，亦为常数.

    综上可知，在轴上存在定点，使为常数.

     

     

     

     

     

     

    …3

     

     

     

    …5

     

     

     

     

     

     

    …7

     

     

     

    …9

     

     

     

     

     

    …11

     

     

     

     

     

     

     

     

    …13

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    …16

     

     

    …17

     

    …18

     

    20（理，满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）

    解：（1）解法一：由题意，四边形是直角梯形，且∥，

    则与所成的角即为.

    因为，又平面，

    所以平面，则有.

        因为，,

    所以，则，

    即异面直线与所成角的大小为.

    解法二：如图，以为原点，直线为轴、直线为轴、直线为轴，

    建立空间直角坐标系.

    于是有、，则有，又

    则异面直线与所成角满足,

        所以，异面直线与

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