2009年求精中学高一下期第二阶段数学测试（理科）
命题人：肖晓钟 审题人：付远中
一、选择题（每小题5分，共5×10＝50分）
1．下列各向量中为单位向量的是
A．
＝（1，1） B．
＝（
，）C．
＝（
，－
） D．
＝（
，－）
2．若点A分有向线段
的比为－，则点B分有向线段
的比为
A．1
B．2 C．－1
D．
3．化简
为
A．
B.
C.
D.
4．已知
为非零向量，则
成立的充要条件是
A.
（B）
与
有共同的起点 C.
D.
5．已知
，
，
，
夹角为
，则以
为邻边的平行四边形的一条对角线长
A．15 B．
C．14 D．16
6．函数y＝cos(
－2x)的单调递增区间是
A．[－kπ＋
，－kπ＋
π] B．[－kπ－
π，－kπ＋]
C．[2kπ＋，2kπ＋π] D．[2kπ－π，2kπ＋]（以上k∈Z）
7．若点
在第三象限，则角
的终边必在
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
8．给出下列三个命题
（1）若tanAtanB>1，则△ABC一定是钝角三角形；
（2）若sin2A＋sin2B＝sin2C，则△ABC一定是直角三角形；
（3）若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC一定是等边三角形
以上正确命题的个数有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．已知锐角三角形的边长分别为
，则
的范围是
A.
B.
C.
D.
10. 已知
的三边长
满足
且
则的最大内角的度数是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每小题5分，共5×5=25分）
11．向量＝（2，－1）与向量共线，且满足?＝－10，则向量＝______
12．若≤x≤
，则函数y＝
的值域是__________________
13．||＝1，
＝
，||＝2，且＋＋＝
，则?＋?＋?＝_____
14．已知△ABC的面积为2，BC＝5，∠A＝60°，则△ABC的周长是_________
15.计算：
。
三、解答题（16～18题，每题13分，19-21题12分，共75分）
16．已知
，求：
．
17.平行四边形ABCD中，已知：
,
, 求证：A、E、F三点共线。
18．已知函数f(x)＝sinxcosx－cos2x＋，x∈R，
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）把函数y＝f(x)的图像按＝（φ，0）（φ>0）平移后，图像关于y轴对称，求φ的最小值。
19．已知向量＝(cosθ，sinθ)，＝(sinθ，2)，＝（－2，cosθ），共中θ∈(－π，π)（1）若⊥(－)，求θ的值；
（2）令
＝＋－，若||≤
，求θ的取值范围。
20．某海岛上一观察哨A在上午10点时测得一轮船在海岛北偏西30°的C处，11点时测得船在海岛北偏东30°的B处，11时20分时轮船到达位于海岛正东且距海岛
km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速是多少？
21.ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件：（1）a、b、c成等差数列;（2）a、b、c成等比数列.现给出三个结论：（1）
;（2）
;（3）
.
请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之.
2009年求精中学高一下期第二阶段测试
数学（理科）答题卡 总分：
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11． ； 12． ；13． ； 14． ；15． ；
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步．
16．（本小题满分13分）
17．（本小题满分13分）
18．（本小题满分13分）
19．（本小题满分12分）
20．（本小题满分12分）
21．（本小题满分12分）
2009年求精中学高一下期第二阶段数学测试（理科）
一、 选择题：CACDA,ADCBB.
二、
填空题：11.（-4，2） 12.
13.-4 14. 12
15. 
三、解答题（16～18题，每题13分，19-21题12分，共75分）
16．解：∵
∴
∴
17.证明一：（利用共线向量的判定定理证明）
以
作为基底，有：
, 
，从而
, 所以A、E、F共线。
证明二：（利用三点共线的判定定理证明）
，而：
，所以A、E、F共线。
（可以建立坐标系，利用求出等比分点坐标公式求出E、F的坐标，再证明A、E、F共线）
18．（1）f(x)＝
sin2x－
(1＋cos2x)＋ ＝ sin2x－cos2x
＝sin(2x－
) 5分
∴T＝
＝π 2分
（2）函数y＝f(x)的图象按
＝（φ，0）（φ>0）平移后，得y＝sin(2(x－φ)－) 2分，此函数图象对称轴方程为2(x－φ)－＝kπ＋
k∈Z ，又f(x)平移后关于y轴对称，∴x＝0满足上式有2(0－φ)－＝kπ＋，∴φ＝－
π－
k∈Z
2分
∵φ>0∴当k＝－1时，φmin＝ 2分
19．（1）由已知得
－
＝(sinθ，2)－(－2，co sθ)＝(sinθ＋2，2－cosθ) 1分 ∵⊥－
∴?(－)＝0
∴(cosθ，sinθ)(sinθ＋2，2－cosθ)＝0
∴cosθ(sinθ＋2)＋sinθ(2－cosθ)＝0 2分
∴2cosθ＋2sinθ＝0 ∴tanθ＝－1 ∵θ∈（－π，π）
∴θ＝－
或θ＝
3分
（2）由已知
＝＋－＝(cosθ＋sinθ＋2，sinθ＋2－cosθ) 1分
∴||2＝(cosθ＋sinθ＋2)2＋(sinθ＋2－cosθ)2＝10＋8sinθ 2分
∵||≤
∴10＋8sinθ≤14 ∴sinθ≤ ∵θ∈(－π，π)
∴θ∈
3分
20．轮船从点C到点B耗时60分钟，从点B到点E耗时20分钟，而船始终匀速，可见BC＝3EB
2分
设EB＝x，则BC＝3x，由条件知∠BAE＝60°，在△ABE中，由正弦定理得
①
在△ABC中，由正弦定理得 
②
2分
由条件∠BAC＝30°＋30°＝60° ∴sin∠BAC＝sin∠BAE
又∠ABC＋∠ABE＝180° ∴sin∠BAC＝sin(180°－∠ABC)＝sin∠ABE 2分
结合①②得
＝
∴AC＝3AE 2分
在△ACE中，由余弦定理，得
CE2＝AC2＋AE2－2AC?AE?cos120°＝9AE2＋AE2＋3AE2＝13AE2＝13×
∴CE＝20 2分 ∴BC＝15 ∴船速v＝15km/t 2分
21.解： 可以组建命题一：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）0＜B≤
（2）
；
命题二：△ABC中，若a、b、c成等差数列求证：（1）0＜B≤
（2）1＜
≤
命题三：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）
（2）1＜
≤
命题四：△ABC中，若a、b、c成等比数列，求证：（1）0＜B≤
（2）1＜≤
………………………………………………………………………………………………6分
下面给出命题一、二、三的证明：
（1）∵a、b、c成等差数列∴2b=a+c，∴b=
≥
且B∈（0，π），∴0＜B≤
（2）
（3）
∵0＜B≤ ∴
∴
∴
下面给出命题四的证明：
（4）∵a、b、c成等比数列∴b2=a+c，
且B∈（0，π），∴0＜B≤…14分
评分时若构建命题的结论仅一个但给出了正确证明，可判7分；若构建命题完全正确但论证仅正确给出一个，可判10分；若组建命题出现了错误，应判0分，即坚持错不得分原则
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