应用性问题的解法
1.内容概要：
高考对数学应用和实践能力的考查要求是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明。
解答数学应用题是分析问题和解决问题的能力的高层次表现，反映出考生的创新意识和实践能力。从2000年新课程的试卷，突出新增加的向量，概率，导数等知识的应用性。但是应用题的范围是很广泛的，除以概率为模型之外，建立函数，数列，三角，曲线等模型解决实际问题也应该成为复习的重点。要想掌握好高考试题中应用问题的求解,重点在于提高整理分析实际问题中的数据,抽象概括出数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力.
2.典例精析：
类型一：函数应用题
例1：（2008年湖北卷理科）
水库的蓄水量随时间而变化，现用
表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以
表示第1月份（
）,同一年内哪几个月份是枯水期? 全 品高考网
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取
计算）.
分析：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.
解析：（Ⅰ）①当
时，
，化简得
,
解得
，或
，又，故
.
②当
时，
，化简得
,
解得
，又,故.
综合得,或；
故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.
(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.
由V′（t）=
令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).
当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表：
t
(4,8)
8
(8,10)
V′(t)
+
0
-
V(t)
极大值
由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(亿立方米).
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米
类型二：数列应用题
例2：（2007年安徽卷理科）
某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.
分析：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．
解析：（Ⅰ）我们有
．
（Ⅱ）
，对
反复使用上述关系式，得
， ①
在①式两端同乘
，得
②
②
①，得
．
即
．
如果记
，
，
则
．
其中
是以
为首项，以
为公比的等比数列；
是以
为首项，
为公差的等差数列．
类型三：其他类型的应用题
例3：（2008年湖南卷理科）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东
且与点A相距40
海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+
(其中sin=
，
)且与点A相距10
海里的位置C.
（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解: （I）如图，AB=40，AC=10，
由于
,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为
（海里/小时）.
（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,
BC与x轴的交点为D.
由题设有，x1=y1= 
AB=40,
x2=ACcos
,
y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k=
,直线l的方程为y=2x-40.
又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
=
=
.
从而
在
中，由正弦定理得，
AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP 
BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt
中，PE=QE?sin
=
所以船会进入警戒水域.
3、知识整合
1．求解应用题的一般步骤是（四步法）：
（1）、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
（2）、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
（3）、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
（4）、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证.
2．在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等.
Ⅰ．函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.
⑴ 根据题意，熟练地建立函数模型；
⑵ 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型.
Ⅱ．数列模型 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律
Ⅲ．几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解.
4、跟踪练习
1.因液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小.为减少汽车尾气对城市空气的污染，促进城市的健康发展，某市决定对出租车进行使用液化气替代汽油的工作.请根据以下条件：①当前汽油价格为2.8元/升，
（Ⅰ）说明使用液化气比使用汽油更经济（即省钱）;
（Ⅱ）假设出租车改装液化气设备需5000元，请问多长时间省出的钱可以等于引进设备的钱。
2. 通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f(t)越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：
（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
3. 某公司全年的利润为
元,其中一部分作为奖金发给
位职工,奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由1到排序,第一位职工得奖金
元,然后再将余额除以,发给第二位职工,按此方案将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1) 设
为第
位职工所得奖金额,试求
并用
.(不必证明)
(2)
证明
,并解释此不等式关于分配原则的实际意义;,
4. 关于某港口今后20年的发展规划，有如下两种方案：
方案甲：按现状进行运营。据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元。
方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力。港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营．据测算，开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第5年的水平上。
（1） 从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？
（2） 从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？
（收益＝收入－投资）
5. 学校决定对教学楼部分房间配制现代化的电了教学设备，并对其两种电子装置配一个外壳，现有A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用用到两种规格的薄金属板：甲种薄金属板每张面积
6. 舰A在舰B正东6公里处,舰C在舰B北偏西30°的4公里处.某时刻某海洋动物在P处发出信号,信号传播速度为1公里/秒. A舰接到信号4秒后, B, C舰同时接到信号.问从A舰观察P点的方位角是多少?(方位角:从指北方向按顺时针旋转到目标方向线的水平角)P与A舰的距离是多少?
【练习题参考解答】
1. (Ⅰ）设出租车行驶时间为天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为W′元，
则由题意可知
（Ⅱ）①设
解得
②设
解得
所以，若改装液化气，则一年半到两年左右的时间省出的钱可以等于引进设备的钱.
(2)当
时，函数
在
时是减函数,在
时是增函数,所以
有最小值
.
2. 解：（1）当
，
是增函数，且
；
，
是减函数，且
.所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.
（2）
，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.
当
时，
；当
，
（3）令
，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.57＞24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.
3. (Ⅰ) 解法1.
, 
,
.
由此而得, 
.
解法2. ,
于是, 
, 
,
两式相减, 
,
从而
,
(Ⅱ) 
所以 
.此不等式表明工作业绩越好,分配越高,体现了按劳分配,按优分配的原则.
4. 解：（1）设从明年开始经过第n年，方案乙的累计总收益为正数。
在方案乙中，前4年的总收入为
=2600<6000,
故n必定不小于5，则由
2600+320´1.54(n-4)>6000，
解得 n>6,故n的最小值为7，
答: 从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资。
（2）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1,y2万元，则
y1=760n-[50n+n(n-1)?20]=-10n2+720n,
当n≤4时，则y1>0,y2<0,可得y1>y2.
当n³5时，y2=2600+320´1.54(n-4)-6000=1620n-9880，
令y1<y2,可得1620n-9880>-10n2+720n,
即 n(n+90)>998,
由10(10+90)>998,9(9+90)<998,可得n的最小值为10.
答：从明年开始至少经过10年，方案乙的累计总收益超过方案甲。
5. 解：设用甲种薄金属板x张，乙种薄金属板y张，则可做A种产品外壳3x＋6y个，B种产品外壳5x＋6y个，由题意可得
所有的薄金属板的总面积是 z＝2x＋3y．
可行性区域如图所示的阴影部分，其中l1：3x＋6y＝45； l2：5x＋6y＝55，l1与l2的交点为A(5，5)，因目标函数z＝2x＋3y在可行域上的最小值在区域边界的A(5，5)处取得，此时z的最小值为2?5＋3?5＝25．即甲、乙两种板各5张，能保证制造A、B的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．
6.解：以A,B所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系(如图).
A为(3,0), B为(－3,0), C为(－5,2
),
由题意知|PB|－|PA|=4,且|PB|=|PC|,
∴点P为以A, B为焦点,实轴长为4的双曲线靠近A点的一支与线段BC的垂直平分线的交点.
双曲线的a=2,c=3,∴b2=5,方程为 
=1(x≥2),
BC的中点D(－4,),斜率为k=－,
∴BC的垂直平分线方程为x－y+7=0.
将y2=
(x+7)2代入=1得
11x2－56x－256=0,
由x≥2,解得x=8,y=5.
交点P为(8,5).∴∠xAP=60°,|PA|=10,
∴从A舰观察P点的方位角是30°, P与A舰的距离是10公里.
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所以使用液化气比使用汽油省钱。