江苏省通州市2009届高三第六次调研测试数学试卷(考试时间:120分钟满分160分)——青夏教育精英家教网—

江苏省通州市2009届高三第六次调研测试

数学试卷

（考试时间：120分钟满分160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．函数的定义域为 .

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2．已知复数与均为纯虚数，则等于．

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3．已知向量，向量满足∥，且，则= 。

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4．在等比数列{a_n}中，已知a₄＋a₁₀=10，且，则= ．

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5．已知命题：“，使x²+2x+a≥0”为真命题，则a的取值

范围是．

6．如图，程序执行后输出的结果为．

7．下列命题正确的序号是_____ ．

（其中l，m表示直线，表示平面）

(1)若； (2)若；

(3)若； (4)若

8．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，

则它的体积的最大值与最小值之差为　　　　　　　．

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9．已知，则当mn取得最小值时，椭圆的离心率为．

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10．对任意两个集合A、B，定义：，，设，，则

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11．若，且当时，恒有，则以,b为坐标点所形成的平面区域的面积等于．

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12．已知两个不共线的向量，的夹角为，且.若点M在直线OB上，且的最小值为，则的值为．

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13．设函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是 _ .

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14．f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足，对任意正数a、b，若a＜b，则的大小关系为．

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二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本题满分14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

（1）判断△ABC的形状；

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（2）若的值.

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16．（本题满分14分）一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，E为侧棱PD的中点.

（1）求证：PB//平面AEC；

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（2）若F为侧棱PA上的一点，且，则为何值时，PA平面BDF？并求此时几何体F―BDC的体积．

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17．（本题满分15分）已知圆A：与轴负半轴交于B点，过B的弦BE与轴正半轴交于D点，且2BD=DE，曲线C是以A，B为焦点且过D点的椭圆．

（1）求椭圆的方程；

（2）点P在椭圆C上运动，点Q在圆A上运动，求PQ+PD的最大值．

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18．（本题满分15分）

如图所示，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABEF，它的宽为1米。直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；

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⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠，试求平板面的长 (用表示)；

⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?

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19．（本题满分16分）已知数列的前n项和为，点在直线上．数列满足：，且，前9项和为153．

（1）求数列，的通项公式；

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（2）设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；

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（3）设^*，问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

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20．（本题满分16分）函数．

（1）试求f(x)的单调区间；

（2）当a>0时，求证：函数f(x)的图像存在唯一零点的充要条件是a=1；

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（3）求证：不等式对于恒成立．

数学附加题

考试时间：30分钟满分40分

分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程．

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一、选答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题．如果多做，则按所做的前两题记

1.(选修4一l：几何证明选讲)

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如图，圆O的直径,C为圆周上一点，,过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E。求的度数与线段AE的长。

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2.(选修4―2：矩阵与变换)

已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A．

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3.(选修4―4：坐标系与参数方程)

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已知直线和参数方程为 ,是椭圆上任意一点，求点到直线的距离的最大值．

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4.(选修4―5：不等式选讲)

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已知f(x)＝定义在区间[－1，1]上,设x₁，x₂∈[－1，1]且x₁≠x₂．

(1)求证: | f(x₁)－f(x₂)|≤| x₁－x₂| (2)若a²＋b²＝1，求证：f(a)＋f(b) ≤．

选做题一：

选做题二：

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二、必答题：本大题共2小题。每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程．

5. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．设复数(i是虚数单位)。

（1）求事件“为实数”的概率；

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（2）求事件“”的概率。

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6. 如图，直三棱柱A₁B₁C₁―ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点.

（1）求与平面A₁C₁CA所成角的正切值；

(2) 求二面角B―A₁D―A的平面角的正切值；

（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD？

江苏省通州市2009届高三第六次调研测试

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．　2．2i　3．（）或（）　4．16　　5．a≥-8 6．64 7．（1）(3)(4) 8．6 9．　 10． 11．1　 12． 13．(－∞，1)

14．，提示：设，则，故为增函数，由a＜b，有，也可以考虑特例，如f(x)=x²

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（1）

5分

即

为等腰三角形. 8分

（2）由（I）知

12分

14分

16．（1）由图形可知该四棱锥和底面ABCD是菱形，且有一角为，边长为2，

锥体高度为1。

设AC，BD和交点为O，连OE，OE为△DPB的中位线，

OE//PB， 3分

EO面EAC，PB面EAC内， PB//面AEC。 6分

（2）过O作OFPA垂足为F ,

在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△POB中，PO=1，BO=1，PB=， 8分

过B作PA的垂线BF，垂足为F，连DF，由于△PAB≌△PAD，故DF⊥PA，DF∩BF=F，因此PA⊥面BDF. 10分

在等腰三角形PAB中解得AF=,进而得PF=

即当时，PA面BDF， 12分

此时F到平面BDC的距离FH=

14分

17．(1) 4分

椭圆方程为 7分

（2） 10分

＝2 14分

所以P在DB延长线与椭圆交点处，Q在PA延长线与圆的交点处，得到最大值为． 15分

18．（1）DM=，DN=，MF=，EN=， 4分

=EF=DM+DN-MF-EN=+－－

= （） 7分

（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角（），平板车的长度不能超过，即平板车的长度；记，有=，

===， 10分

此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记，则）或直接求导，以确定函数在上的单调性；当时取得最小值。 15分

19． (1)点(n，)在直线y＝x＋上，∴＝n＋，即S_n＝n²＋n，

a_n＝n＋5． 3分

∵b_n₊₂－2b_n₊₁＋b_n＝0(nÎN^*)，∴b_n₊₂－b_n₊₁＝ b_n₊₁－b_n＝…＝ b₂－b₁．

∴数列{b_n}是等差数列，∵b₃＝11，它的前9项和为153，设公差为d，

则b₁＋2d＝11，9b₁＋×d＝153，解得b₁＝5，d＝3．∴b_n＝3n＋2． 6分

(2)由(1)得，c_n＝＝＝(－)，

∴T_n＝b₁＋b₂＋b₃＋…＋b_n＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)

＝(1－)． 9分

∵T_n＝(1－)在nÎN^*上是单调递增的，∴T_n的最小值为T₁＝．

∵不等式T_n＞对一切nÎN^*都成立，∴＜．∴k＜19．∴最大正整数k的值为18．11分

(3) nÎN^*，f(n)＝＝

当m为奇数时，m＋15为偶数；当m为偶数时，m＋15为奇数．

若f(m＋15)＝5f(m)成立，则有3（m＋15）＋2＝5(m＋5)(m为奇数)

或m＋15＋5＝5（3m＋2）(m为偶数)． 13分

解得m＝11．所以当m＝11时，f(m＋15)＝5f(m)． 16分

20．（1）． 2分

　当时，，在上单调递增； 3分

　当时，时，，在上单调递减；

时，，在上单调递增． 5分

综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 6分

（2）充分性：a=1时，由（1）知，在x=1处有极小值也是最小值，

即。而在上单调递减，在上单调递增，

在上由唯一的一个零点x=1． 9分

必要性： =0在上有唯一解，且a>0, 由（1）知，在x=a处有极小值也是最小值f(a)， f(a)=0,即．

令，．

当时，，在上单调递增；当a>1时，，

在上单调递减。， =0只有唯一解a=1．

=0在上有唯一解时必有a=1． 12分

综上：在a>0时， =0在上有唯一解的充要条件是a=1．

（3）证明：∵1<x<2,∴.

令，∴，14分

由（1）知，当a=1时，，∴，∴．

∴，∴F（x）在（1，2）上单调递增，∴，

∴。∴． 16分

附加题答案

1．解：如图，连结OC，因,因此,由于,

6ec8aac122bd4f6e 所以，又得; 5分

又因为,得,那么,

从而，于是。 10分

2．解：设A=，由题知=，=3

即， 5分

∴ ∴A= 10分

3．解：直线的参数方程为为参数）故直线的普通方程为 3分

因为为椭圆上任意点，故可设其中.

因此点到直线的距离是 7分

所以当，时，取得最大值. 10分

4. 证（1）　

∵，，

∴| f(x₁)－f(x₂)|＜| x₁－x₂| 5分

（2），∴f(a)＋f(b) ≤

∵ ，

∴ 10分

5.解：（1）为实数，即为实数， ∴b＝3 2分

又依题意，b可取1，2，3，4，5，6

故出现b＝3的概率为

即事件“为实数”的概率为 5分

（2）由已知， 6分

可知，b的值只能取1、2、3

当b＝1时，，即a可取1，2，3

当b＝2时，，即a可取1，2，3

当b＝3时，，即a可取2

由上可知，共有7种情况下可使事件“”成立 9分

又a，b的取值情况共有36种

故事件“”的概率为 10分

6.解：（1）∵A₁B₁C₁－ABC为直三棱柱 ∴CC₁⊥底面ABC ∴CC₁⊥BC

∵AC⊥CB ∴BC⊥平面A₁C₁CA

6ec8aac122bd4f6e ∴A₁B与平面A₁C₁CA所成角的正切值 3分

（2）分别延长AC，A₁D交于G. 过C作CM⊥A₁G 于M，连结BM

∵BC⊥平面ACC₁A₁ ∴CM为BM在平面A₁C₁CA的内射影

∴BM⊥A₁G ∴∠CMB为二面角B―A₁D―A的平面角

平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D为C₁C的中点

∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，

即二面角B―A₁D―A的平面角的正切值为 6分

（3）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD .

其位置为AC中点，证明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC为直三棱柱， ∴B₁C₁//BC

∵由（1）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA

∵EF在平面A₁C₁CA内的射影为C₁F ，F为AC中点 ∴C₁F⊥A₁D ∴EF⊥A₁D

同理可证EF⊥BD, ∴EF⊥平面A₁BD

∵E为定点，平面A₁BD为定平面,点F唯一 10分

解法二：（1）同解法一 3分

（2）∵A₁B₁C₁―ABC为直三棱住 C₁C=CB=CA=2 , AC⊥CB D、E分别为C₁C、B₁C₁的中点, 建立如图所示的坐标系得

C（0，0，0） B（2，0，0） A（0，2，0）

C₁（0，0，2） B₁（2，0，2） A₁（0，2，2）

D（0，0，1） E（1，0，2）

设平面A₁BD的法向量为

平面ACC₁A₁的法向量为=（1，0，0）

即二面角B―A₁D―A的平面角的正切值为 6分

（3）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD

欲使EF⊥平面A₁BD 由（2）知，当且仅当//

∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件. 即点F为AC中点 10分

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