2009年福建省龙岩市普通高中毕业班单科质量检查数学(理科)试题
（考试时间：120分钟；满分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共８页．
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的标准差：
s=
，其中
为样本平均数 ；
柱体体积公式：V=Sh ，其中S为底面面积，h为高；
锥体体积公式：V=
Sh，其中S为底面面积，h为高；
球的表面积、体积公式：
，
，其中R为球的半径.
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一
1. 已知i是虚数单位，实数
满足
，则
的值为
（ ）
A.－1 B.
2.
计算
的结果是
（ ）
A. 
B.
C.
D.
3. 对某校400名学生的体重（单位：
）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则
学生体重在60以上的人数为
（ ）
A. 200
B. 100
C. 40
D. 20
4. 右边的程序运行后，输出的结果为
（ ）
A. 13，7
B. 7，4
C. 9，7
D. 9，5
5. 已知椭圆
的焦点分别为
、
，
，
离心率为
．过的直线交椭圆于A、B两点，则
的周长为 （ ）
A. 10 B. 12 C. 16 D. 20
6. 已知函数
，将
的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
纵坐标不变，再将所得图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，则
的解
析式为 （ ）
A. 
B.
C.
D.
.
7. 下列说法正确的是 （ ）
A. 函数
的图象的一条对称轴是直线
B. 若命题P：“存在
，
”，则命题P的否定：“任意，
”C. 若
，则
D.
“
”是“直线
与直线
互相垂直”的充要条件
8. 设
、
是两条不同直线，
、
、
是三个不同平面，给出下列四个命题：
①若
，
，则
②若
，
，，则
③若
，
，则 ④若
，
，则
其中正确命题的序号是 （ ）
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
9. 对任意两个正整数m、n定义某种运算+：
，则集合
N
中元素的个数为 （ ）
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
10. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设
（i，j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如
＝8．
若＝2009，则i与j的和为（ ）
A. 105 B. 106
C. 107 D. 108
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，请把正确答案填在后面横线上．
11. 袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2
分，则所得分数
的数学期望
.
12. 已知二项式
的展开式中的常数项为15，则实数
为
.
13. 设向量a,b满足| a－b |=2，| a |=2，且a－b与a的夹角为
，则| b |=
.
14. 已知函数
是定义在R上的奇函数，当x
0时，
. 若
，
则实数m的取值范围是 .
15. 对任意正整数，定义的双阶乘
如下：
当为偶数时，
；
当为奇数时，
.
现有四个命题：
①（2009！！）?（2008！！）=2009！； ② 2008?2008！！=2009！！－ 2008！！；
③ 2009！！的个位数字为5； ④（a+b）!! = a!!+b!!（a、b
N*）
其中所有正确命题的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分13分）
已知
，且
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
，
，求cos的值.
17.（本小题满分13分）
如图，在体积为1的三棱柱
中，侧棱
底面
，
，
，
为线段
上的动点.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）当
为何值时，二面角
的
大小为？
18. (本小题满分13分)
近段时间我国北方严重缺水, 某城市曾一度取消洗车行业. 时间久了，车容影响了市容市
貌. 今年该市决定引进一种高科技产品污水净化器，允许洗车行开始营业，规定洗车行必须购买这种污水净化器，使用净化后的污水(达到生活用水标准)洗车. 污水净化器的价格是每台90万元，全市统一洗车价格为每辆每次8元. 该市今年的汽车总量是80000辆，预计今后每年汽车数量将增加2000辆.洗车行A经过测算，如果全市的汽车总量是x，那
么一年内在该洗车行洗车的平均辆次是
，该洗车行每年的其他费用是20000元. 问：
洗车行A从今年开始至少经过多少年才能收回购买净化器的成本？
（注：洗车行A买一台污水净化器就能满足洗车净水需求）
19.（本小题满分13分）
已知抛物线C:
上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设
，
是抛物线C上任意两点，且
（
，且为常数）. 过弦AB的中点
M作垂直于
轴的直线交抛物线于点D，连结AD、BD
得到
，求证：的面积为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，分别过弦AD、BD的中点作垂直于
轴的直线依次交抛物线于点E、F，连结AE、DE和BF、
DF，得到
和
，并按此方法继续下去. 若设
,
，
是第n次操作时得到的
个三角形面积
的和，记
，求证：
.
20.（本小题满分14分）
设函数
（
R）.
（Ⅰ）当
时，求的极值；
（Ⅱ）当
时，求的单调区间；
（Ⅲ）当
时，对于任意正整数n，在区间
上总存在m+4个数
使得
成立，试问：正整数m是否有最大值？若有求其最大值；否则，说明理由.
21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵P=
，Q=
，若矩阵PQ对应的变换把直线
变为直线
，求、
的值.
（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线
的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆Ｃ的参数方程是
（
为参数），求直线和椭圆Ｃ相交所成弦的弦长．
（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
已知实数
满足
，
，求证：
.
2009年龙岩市普通高中毕业班单科质量检查
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.
1. B 2. C 3. B 4.C 5.D 6.A 7. B 8. A 9. C 10. C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分20分.
11. 1 12. 
13.
2 14. 
15.
①③
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 本题主要考查三角函数的倍角公式、两角和公式等基本知识，考查学生的运算求解能
力. 满分13分.
解：（Ⅰ）因为
，
两边同时平方得
.
………………………………………（4分）
又
，
所以
.
………………………………………（6分）
（Ⅱ）因为，
，
所以
，得
.
又
,知
. …………………（9分）
. ………………………………………（13分）
17. 本题主要考查线线位置关系，二面角的求法等基本知识，考查空间想像能力，运算求解能力和推理论证能力. 满分13分.
解：（Ⅰ）证明：连结
，
侧棱
底面ABC，
，又
.
平面
.
又
平面，
. ………（3分）
，
四边形为正方形，
.
， 
平面
.
又
平面，
. …………（6分）
（Ⅱ）
.
平面
.
又
， 
.
如图，以
为原点，建立空间直角坐标系-xyz，设AP=x，则
、
、
、
.
知面
的一个法向量为
， ……（9分）
设面
的一个法向量为
，
，
.
由
得
令
， 
………（11分）
依题意：
=
解得
（不合题意，舍去），
时，二面角
的大小为
. …………（13分）
18．本题主要考查数列与不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题与解决问题的能力，
考查应用意识. 满分13分.
解：设第一年（今年）的汽车总量为
，第n年的汽车总量为
，则
，
…
.
数列
构成的首项为80000，公差为2000的等差数列，
. ………………………（4分）
若洗车行A从今年开始经过n年可以收回购买净化设备的成本. 则（
）
-20000n≥900000，………………………（8分）
整理得，
因为
，所以 
.
答：至少要经过6年才能收回成本. …………………………………………（13分）
19．本题主要考查直线与抛物线的位置关系、等比数列求和等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力. 满分13分
解：（Ⅰ）依题意得：
，解得
.
所以抛物线方程为
. ………………………………………………（3分）
（Ⅱ）若
，即直线AB垂直于x轴，不防设
，
由
又由抛物线对称性可得：
.
又
，得 
，故S△ABD=
. …………………………（4分）
若
，设直线AB方程：
，
由方程组
消去
得：
.（※）
依题意可知：
.
由已知得
，
. ……………………………………（5分）
由
，得
，
即
，整理得
.
所以
. …………………………………………（6分）
中点
，
所以点
，
依题意知
.
又因为方程（※）中判别式
，得
.
所以
，又
，
所以
.
又
为常数，故
的面积为定值. …………………………………（9分）
（Ⅲ）依题意得：
…，
.
故
…
＜
. ………………………………（13分）
注：本题第（Ⅱ）问另解，参照本标准给分；第（Ⅲ）问若用定积分证明，同样给分.
20. 本题主要考查函数的单调性、极值、最值、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数
性质的方法，考查分类与整合及化归与转化等数学思想. 满分14分.
解：（Ⅰ）依题意，知
的定义域为
.
当
时，
，
.
令
，解得
.
当
时，
；当
时，
.
又
，
所以的极小值为
，无极大值 . …………………………（3分）
（Ⅱ）
.
令，解得
. …………………………（4分）
若
，令，得；令，得 .
若
，
①当
时，
，
令，得
或；
令，得
.
②当
时，
.
③当
时，得
，
令，得或
；
令，得
.
综上所述，当时，的递减区间为
，递增区间为
.
当
时，的递减区间为
；递增区间为
.
当时，递减区间为.当时，的递减区间为
，递增区间为
. …………………………（9分）
（Ⅲ）当
时，
，
由
，知
时，
. 
，
.
依题意得：
对一切正整数成立. ……………（11分）
令
，则
（当且仅当
时取等号）.
又
在区间
单调递增，得
，
故
，又
为正整数，得
，
当
时，存在
，
，
对所有
满足条件.
所以，正整数的最大值为32. …………………………………（14分）
21. （1）本题主要考查矩阵乘法与变换等基本知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思
想. 满分7分.
解：PQ＝
，
PQ矩阵表示的变换T：
满足条件
.
所以
………………………（3分）
直线
任取点
，则点
在直线
上，
故
，又，得
所以
………………………………………（7分）
（2）本题主要考查直线极坐标方程和椭圆参数方程等基本知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想. 满分7分.
解：由题意知直线和椭圆方程可化为：
， ①
． ② …………………………（２分）
①②联立，消去
得：
，解得
，
．
设直线与椭圆交于A、B两点，则
．
故所求的弦长为
． &n
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