2009年高考实战模拟数学（理）试题

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

B

C

C

A

D

B

A

D

C

A

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）

13. ；14. [3，243]； 15. ；  16.

三、解答题（共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.解：（Ⅰ）解法一：∵、、

∴，.

由得：，

即.  ∵   ∴.                             ………5分

解法二：∵   ∴点在线段的中垂线上，即在直线上，故

∵   ∴.                                   ………5分

（Ⅱ）                ………6分

由得：

即                                         ………7分

∵，     ∴  ………8分

∴  解得：   

∴            ………9分

∴           ………10分

18. 解： （Ⅰ）记“该大学生通过第一轮笔试”为事件A，

                “该大学生通过第二轮面试”为事件B，

                “该大学生通过第三轮试用”为事件C。

则

那么该大学生未进入第三轮考核的概率是

       ………6分

（或                                 ………6分

   （Ⅱ）的可能取值为1，2，3.

    P(=1)=P()=1-P(A)= P(=2)=P()=P(A)(1-P(B))=

       P(=3)=

       或P(=3)=                          ………9分

       的数学期望                     ………11分

    的方差      ………12分

19. 解法一：

（Ⅰ）依题意，在平面内移动        ………2分

在正方体中,

∴   同理

∴平面

∴                               ………4分

（Ⅱ）连接，过做平面，

垂足为，∵∥   ∴在上；过作

于，连接PF，则为

二面角的一个平面角。          ………6分

在中，，因为，所以。

∴为的中点    ∴为的中点。

即为的中点时，二面角的正切值为。             ………9分

（Ⅲ）连接，在三棱锥中，

，设到平面的距离为，则有：

           ………11分

，

∴

即到平面的距离为                                    ………12分

解法二：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示。所以

（）

（Ⅰ）

∴                       ………4分

（Ⅱ）由题意可得，为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则

即，令z=1，解得：

所以

∴

解得 或（舍去）

∴为的中点时，二面角的正切值为。                    ………9分

（Ⅲ）由题意可得：，则，为平面的一个法向量，所以到平面的距离为：

即到平面的距离为                                             ………12分

20. 解：（Ⅰ）依题意可设双曲线的渐近线方程为，即

∵该直线与圆 相切

∴双曲线的两条渐近线方程为                                    ………2分

故设双曲线的方程为，

又∵双曲线的一个焦点与关于直线对称

∴  双曲线的一个焦点为  ∴

∴，

∴双曲线C的方程为                                           ………4分

（Ⅱ）设、由题设知直线的方程为

由

得                                              ………6分

由题意知：

  解得                                      ………9分

坐标原点到直线距离为

                                      ………10分

     ∵  ∴

∴坐标原点到直线的距离的取值范围是                             ………12分

21. 解： （Ⅰ）设的公比为，依题意

　　　　　　　　，，

　　　　　　　　……

　　　　　　　　，（）．

将以上各式相加，得（）．                           ………4分

所以当时，

上式对显然成立．                                                      ………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），当时，显然不是与的等差中项，故．………7分

当时由可得，∵  ∴，　①

整理得，解得或（舍去）．于是．………9分

∵，

由①可得

∴ ，．

所以对任意的，是与的等差中项．                             ………12分

22. 解：（Ⅰ）∵

             ∴ 

∴是以2为最小正周期的周期函数                           ……… 2分

又是定义在R上的偶函数，则     

∴

又∵2.5∈[2,3]，∴

∴                                                ……… 4分

（Ⅱ）设，则，

∴

∴当时函数的解析式为，……… 6分

此时    ∴

∴曲线在点处的切线方程为：

整理得                                  ……… 8分

（Ⅲ） 设时则，所以

∴时函数的解析式为

∴时函数的解析式为                             ……… 8分

设点的坐标为（其中，则点，所以矩形的面积为                 ……… 9分

           令     

           解得：                  

          时，，函数递增

          时，，函数递减            

          ∴函数在时有最大值＝

即矩形ABCD面积的最大值为                         ……… 12分

注：以上解答仅供参考，另有解法，酌情给分。