重庆市万州区2009届高三第一次诊断性
数 学（文科）
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷共三个大题，22个小题，满分150分，考试时间为120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卷上.
2．第I卷每小题选出答案后，用笔填写在答题卷上“第I卷答题栏”对应题目的答案栏内.不能答在试题纸上.
3．第II卷各题一定要做在答题卷限定的区域内.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A?B)＝P(A)?P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选答案的番号填在答题卷的相应位置上.
1.函数
的定义域是（ ）
(A) R
(B)
(C)
(D)
2.三角函数式
的值等于（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
3.设
、
是直角坐标系内的两条直线.已知命题甲：“直线、的倾斜角相等”，命题乙：“直线与平行”，则命题甲是命题乙的（ ）
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)不充分也不必要的条件
4.不等式
的解的集合是（ ）
(A)
(B)
(C) 
(D)
5.若
，
，且
，则向量
与
的夹角是（ ）
(A) 30° (B) 60° (C) 45° (D) 75°
6.函数
的反函数是（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
7.在下列五个图所表示的正方体中，能够得到AB⊥CD的是（ ）
(A)①② (B)①②③ (C)①②③④ (D)①②③④⑤
8.某国代表队要从6名短跑运动员中选4人参加2008北京奥运会的4×
(A)24种 (B)72种 (C)144种 (D)360种
9.设
为椭圆的两个焦点，A为椭圆上的点，若已知
，且
，则椭圆的离心率为（ ）
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
10.数列
满足
，若
，则
的值为（ ）
(A) 
(B)
(C)
(D)
11.已知函数
，并且当
时，
，则
的图象的交点个数为（ ）
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
12.
设
，已知
，
，那么
的取值范围为
(A) 
(B) 
(C) 
(D)
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在答题卷的相应位置上.
13.设全集
，S的子集
.
那么
等于
.
14.如果在
的展开式中的各项系数之和为128，那么在此展开式中含
的项的系数是
.
15.若直线
始终平分圆
的圆周，则
的最大值是
.
16.对任意两个实数
，定义一种运算“
”如下：
，那么函数
的值域为
.
三、解答题（本大题共6小题，共74分）把解答题答在答题卷限定的区域内.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分13分）
甲、乙两颗卫星同时监测台风，根据长期经验得知，甲、乙预报台风准确的概率分别为0.8和0.75.求：
(1) 在同一次预报中，甲、乙两卫星只有一颗预报准确的概率；
(2) 若甲独立预报4次，至少有3次预报准确的概率.
18.（本题满分13分）
设函数
，其中向量
，
(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间；
(2)当
时，求函数的值域.
19.（本题满分12分）
在等比数列
中，
，并且
(1)求
以及数列的通项公式；
(2)设
，求当
最大时
的值.
20.（本题满分12分）
设函数
为奇函数，导函数
的最小值为-12，函数
的图象在点P
处的切线与直线
垂直.
(1)求a，b，c的值；
(2)求的各个单调区间，并求在
[-1, 3]时的最大值和最小值.
21.（本题满分12分)
已知是定义域为[－3，3]的函数，并且设
，
，其中常数c为实数.
(1)求
和
的定义域；
(2)如果和两个函数的定义域的交集为非空集合，求c的取值范围；
(3)当在其定义域内是奇函数，又是增函数时，求使
的自变量
的取值范围.
22.（本题满分12分）
已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点，并且两条渐近线与以点
为圆心、1为半径的圆相切，双曲线C的一个焦点与点A关于直线
对称.
(1)求双曲线C的渐近线和双曲线的方程；
(2)设直线
与双曲线C的左支交于P、Q两点，另一直线
经过
及线段PQ的中点N，求直线在
轴的截距
的取值范围.
高2009级第一次诊断性考试（文科）数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1～5 D A B D C 6～
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.
； 14.21 ；
15.
； 16.
.
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17.（本题满分13分）
解：(1)甲、乙两卫星各自预报一次，记“甲预报准确”为事件A，“乙预报准确”为事件B.则两卫星只有一颗卫星预报准确的概率为：
… 4分
= 0.8×(1 - 0.75) + (1 - 08)×0.75 = 0.35 …………6分
答：甲、乙两卫星中只有一颗卫星预报准确的概率为0.35 ………7分
(2) 甲独立预报3次，至少有2次预报准确的概率为
…………10分
＝
＝0.896
………………………12分
答：甲独立预报3次，至少有2次预报准确的概率为0.896. ……… 13分
18.（本题满分13分）
解：(1)∵
…………………2分
＝
＝
……………6分
∴函数
的最小正周期
…………………7分
又由
可得：
的单调递增区间形如：
……9分
(2) ∵
时，
，
∴
的取值范围是
………………11分
∴函数的最大值是3，最小值是0
从而函数的是
…………13分
19.（本题满分12分）
解：(1) ∵
∴由已知条件可得：
，并且
，
解之得：
，
……………3分
从而其首项
和公比
满足：
………5分
故数列
的通项公式为：
……6分
(2) ∵
数列
是等差数列，
…………………………8分
∴
＝
＝
=
…………………10分
由于
，当且仅当
最大时，
最大.
所以当最大时，
或6 …………………………12分
20.（本题满分12分）
解：(1) ∵
为奇函数 ∴
………2分
∵
，导函数
的最小值为-12 ∴
……3分
又∵直线
的斜率为
，
并且
的图象在点P
处的切线与它垂直
∴
，即
∴
……………6分
(2) 由第(1)小题结果可得：
……………9分
令
，得
……………10分
∵
，
，
∴在
[-1, 3]的最大值为11，最小值为-16. ………12分
21.（本题满分12分）
解：(1) ∵函数
有意义的充要条件为
，即是 
∴函数的定义域为
…………3分
∵函数
有意义的充要条件为：
∴函数的定义域为
…………5分
(2)∵由题目条件知
∴
，
…………………7分
∴c的取值范围是：[－5, 5] …………………8分
(3) 
即是
∵是奇函数，∴
………………9分
又∵函数的定义域为
，并且是增函数
∴ 
………………11分
解之得
的取值范围是：
=
…………12分
22.（本题满分12分）
解：(1) 设双曲线的渐近线方程为
，即
，
∵双曲线的渐近线与已知的圆相切，圆心到渐近线的距离等于半径
∴
∴双曲线的渐近线的方程为：
……………2分
又设双曲线的方程为：
，则
∵双曲线的渐近线的方程为，且有一个焦点为
∴
，
………………4分
解之得：
，故双曲线的方程是：
……………5分
(2) 联立方程组
，消去
得：
（*）…………6分
∵直线与双曲线C的左支交于两点，方程（*）两根
、
为负数，
∴
…………8分
又∵线段PQ的中点
坐标满足
，
……9分
∴直线
的方程为：
，
即是
，
直线在轴的截距
……………………11分
又∵时，
的取值范围是：
∴直线的截距
的取值范围是
……12分
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