重庆市万州区2009届高三第一次诊断性
数 学(理科)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷共三个大题，22个小题，满分150分，考试时间为120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卷上.
2．第I卷每小题选出答案后，用笔填写在答题卷上“第I卷答题栏”对应题目的答案栏内.不能答在试题纸上.
3．第II卷各题一定要做在答题卷限定的区域内.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A?B)＝P(A)?P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选答案的番号填在答题卷的相应位置上.
1. 已知
，那么角
是（ ）
（Ａ）第一或第二象限角 （Ｂ）第二或第三象限角
（Ｃ）第三或第四象限角 （Ｄ）第一或第四象限角
2. “a = 
与直线
平行”的（ ）条件
（A）充要 （B）必要而不充分
（C）充分而不必要 （D）既不充分也不必要
3.
已知集合
Z}，则
=（ ）
（A）{－1，1} （B）{0}
（C）{－1，0} （D）{－1，1，0}
4.
在等比数列
中，
、
、
成等差数列，则公比
等于（ ）
（A）1或2
（B）
或
（C）1或
（D）或2
5．
如图，在长方体ABCD-A1B
（A）
（B）
（C）
（D）
6.已知
是
所在平面内一点，
为
边中点，且
，则（ ）
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（D）
7. 一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（ ）
（A）24种 （B）48种 （C）72种 （D）144种
8. 若函数
则对任意的
，且
，有（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9. 函数
的图象恒过点A，若点A在直线
上，其中m
的最小值为（ ）
（A）7 （B）8 （C）9 （D）10
10．定义
，设实数
满足约束条件
，若定义
，则
的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案填在答题卷的相应位置上.
11. 函数
的反函数的定义域为 .
12.已知直线l1：
，l2过点P（? 3，1），且l 1到l 2的角为45
，则l2的方程为_______.
13.若
, 则
______________.(用数字作答)
14. 在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图
为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个
大正方形（如图）. 如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，
直角三角形中较小的锐角为，那么sin2的值等于 .
15. 设O是坐标原点，F是抛物线
的焦点，A是抛物线上的一点，
与x轴正向的夹角为60°，则
为
.
16. 若
是以2为周期的偶函数，当
时，
，在区间
内关于
的方程
（
且
）有4个不同的根，则
的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共76分）把解答题答在答题卷限定的区域内.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分13分）
已知集合A＝
，
.
（Ⅰ） 当a＝2时，求A
B；
（Ⅱ） 求使B
A的实数a的取值范围.
18.（本题满分13分）
已知向量
（Ⅰ）当
时，求函数
的值域；
（Ⅱ）若
的值.
19.（本题满分13分）
已知定义在正实数集上的函数
，
，其中
. 设两曲线
，
有公共点，且在该点处的切线相同.
（I）用
表示
；
（II）求证：
（
）.
20.（本题满分13分）
2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：
福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数量
1
1
1
2
3
从中随机地选取5只.
（I）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；
（II）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推. 设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望.
21.（本题满分12分）
已知函数
.
(Ⅰ) 求f ?1(x)；
(Ⅱ) 若数列{an}的首项为a1=1，
(nÎN+)，求{an}的通项公式an；
(Ⅲ) 设bn=an+12+an+22+¼+a2n+12，是否存在最小的正整数k，使对于任意nÎN+有bn<
成立. 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
22. (本题满分12分)
已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足：
，且
.
（I）求动点P的轨迹G的方程；
（II）过点B的直线
与轨迹G交于两点M，N.试问在x轴上是否存在定点C ,使得
为常数.若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.
高2009级第一次诊断性考试数学(理科)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1～
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 
； 12 . 
； 13. 31；
14. 
； 15. 
；
16.
-
，0
.
三、解答题（本大题共6小题，共76分）
17.（本题满分13分）
解：（Ⅰ）当a＝2时，A＝
，
…………………………2分
B＝
…………………………4分
∴ A
B＝
…………………………6分
（Ⅱ）∵(a2＋1)－a＝(a－
)2＋
>0，即a2＋1>a
∴B={x|a<x<a2+1} ……………………7分
①当时A=Φ，不存在a使B
A ……………………8分
②当时A={x|2<x<
由BA得：
2≤a≤3
…………………10分
③当时A={x|
由BA得
－1≤a≤－
…………………12分
综上，a的范围为：[－1,－]∪[2,3] …………………13分
18．（本题满分13分）
解：（Ⅰ）由
………4分
∵
∴
的值域为[－1，2]
……………………7分
（Ⅱ）∵
∴
∴
………………10分
∴
………………13分
19. （本题满分13分）
解：（Ⅰ）
，
，
……………………2分
设
与
在公共点
处的切线相同
由题意
，
即 
……………………4分
由
得：
，或
（舍去）
即有
……………………6分
（Ⅱ）设
，……………………7分
则
……………………9分
x
时<0，x
>0
∴
在
为减函数，在
为增函数，
……………………11分
于是函数在
上的最小值是:F(a)=f(a)－g(a)=0 ……………………12分
故当
时，有
，
所以，当时，
……………………13分
20. （本题满分13分）
解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率
………………5分
（Ⅱ）
…………………6分
…………10分
ξ的分布列为：
ξ
10
8
6
4
P
…………13分
21．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵
， ∴ 
…………………………1分
由y=
解得：
…………………………2分
∴
………………………3分
（Ⅱ）由题意得：
…………………………4分
∴
∴{
}是以
=1为首项，以4为公差的等差数列. …………………………6分
∴
，∴
.
………………………7分
（Ⅲ）∴
………8分
则
∴
∴
，∴ {bn}是一单调递减数列. ………………………10分
∴
，要使
，则
，∴
又kÎN* ，∴k³8 ，∴kmin=8
即存在最小的正整数k=8，使得
……………………12分
22.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）由余弦定理得：
……1分
即16＝
＝
＝
所以
，
即
……………………………………………4分
（当动点P与两定点A,B共线时也符合上述结论）
所以动点P的轨迹为以A,B为焦点，实轴长为
的双曲线
所以，轨迹G的方程为
…………………………………………6分
（Ⅱ）假设存在定点C(m,0),使
为常数.
①当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为
…………………………………………7分
由题意知，
设
，则
，
…………………8分
于是
∴
＝
………………9分
＝
要是使得 为常数，当且仅当
，此时
………………11分
②当直线l与x轴垂直时，
,当时.
故，在x轴上存在定点C(1,0) ,使得 为常数. …………………………12分
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