从函角度看某些方程、不等式的解

中学数学里的方程、不等式与函数间的联系是双向的：一方面函数的整体性认识要得到议程、不等式以指导。但就目前教材的安排以及其中的例题与习题的配备来看，这后一方面的联系，显得不足。下面就本人对高一教材所做过的补充和延伸，举例谈谈关于某些方程、不等式的解，可以从六个方面考虑。

一 从函数定义域考虑

例1 解方程(x2+2x-3)1/2+(x+3)1/2-(1-x)1/2=x+1

解 设f(x)=)(x2+2x-3)1/2+(x+3)1/2-(1-x)1/2,则f(x)的定义域取决于

下面不等式组的解：

二 从函数值域考虑

例2 解方程

(x2-2x+5)1/2+（x6-2x+10）1/2= 4-2x2+x4.

解 设f(x)= (x2-2x+5)1/2+（x6-2x+10）1/2

g(x)= 4-2x2+x4

因为f(x)= [(x-1)2+4)]1/2+[(x3-1)2+9)]1/2≥5；

g(x)= 5-（x2-1）2+x4≤5。

仅当x-1=x3-1=x2-1=0时, f (x)= + g(x)，从而推出原方程的解为x=1。

例3 解方

x+1/x=sinx+31/33cosx.

解 令=x+1/x,

g(x)=sinx+31/3cosx

易证:| f(x)|= | x+1/x|=|x|+1/|x|≥2;

|g(x)|=| 2sina(x+π/3|≤2

但是当|f(±1)|=2时,但是当| g (±1)|≠2时.所以原方程没有解.

三 结合函数定义域、值域考虑

例4 解方程

（3x2-10x+8)1/2+（2x2-x-6）1/2=2x-4

解 令f(x)= （3x2-10x+8)1/2+（2x2-x-6）1/2,

g(x)= 2x-4.

∵f(x)≥0,∴g(x)= 2x-4≥0.于是x≥2.

又3x2-10x+8=(x-2)(3x-4)≥0;

2x2-x-6=(x-2)(2x+3)≥0

所以, f(x)、g(x)的定义域是x≥2。在此条件下原方程又可化

为：

(x-2)1/2[(3x-4)1/2+(2x+3)1/2=2[(x-2)2]1/2.它的解为下列方二程

之解：

x-2=0； （1）

(3x-4)1/2+(2x+3)1/2=2(x-2)1/2    (2)

解（1）得x=2；而（2）没有解，事实上，将（2）式移项得

(3x-4)1/2-(x-2)1/2=(x-2)1/2-(2x+3)1/2,再采用分子有理化的方法，得到

(2x-2)/[(3x-4)1/2+(x-2)1/2]=-(x+5)/(x-2)1/2+(2x+3)1/2

当x≥2时，上式左边函数值为正，右边的函数值为负。得出矛盾。

经检验原方程仅有一解x=2。

四 结合函数性质考虑

例5 解方程（2x+7）1/2-(2-x)1/2=(5-x)1/2

解 设f(x)= (2x+7)1/2；g(x)=(5-x)1/2-(2-x)1/2.在它们共

同的定义域里，f(x)严格递增，g(x)严格递减且原方程与方程f(x)=- g(x)同解.显然 f(1)=g(1),并且x>/时,时,f(x)>f(1)=g(1)>g(x);

x<1时,f(x) 这就是说f(x)=g(x)仅有一解`x=1.

例6 解不等式1-(1-4x2)1/2/x<3.

解 设不等式左边为f(x),不难确定其定义域是[-1/2,0)∪

(0,1/2].当02)1/2],容易看出,它的分子不超过2,分母总是不小于1的.因此,0 推得原不等式的解集就是[-1/2,0)∪(0,1/2]

五 结合函数的几何意义考虑

例7 解方程

[x+3-4(x-1)1/2]1/2+[x+8-6(x-1)1/2]1/2=1

解原方x-1)程可变形为

{[( 1/2-2]2}1/2+{[(x-1)1/2-3]2}1/2=1

令 (x-1)1/2=u,则有

│u-2│+错误！链接无效。=1。

这个不等式的几何意义是；在u轴上，点u到点2与点头的距离

之和等于1。

不难得到2≤u≤3,即2≤(x-1)1/2≤3从而解得5≤x≤10

例8 求证:妆a (x-b)(x-d)=0必有实根.

证 令f(x)=(x-a)(x-c)+λ(x-b)(x-d),从几何意义考虑,本题

要讨论对任何实数λ,函数f(x)的图象与x轻于某一点;

(2)当λ>-1时,

f(x)=(1+λ)x2-[(a+c)+λ(b+d)]x-(ac+λbd),因为这时(1+λ)

>0,所以f(x)代表了一个开口向上的抛物线.倘能说明函数f(x)的图象在x轴下方有点,再据二次函数图象的性质:连续向上无限伸展,可知它的图象必与x轴有二交点.事实上,由f(b)= (b-a)(b-c+)λ(b-b)(b-d)<(b-c)<0可知点(b,f(b))在x轴下方:

(3) λ<-1时,抛物线f(x)这时开口向下,又f(c)=λ(c-b)(c-d)>0,可知点(c,f(c))在x轴上方,因此,抛物线f(x)必与x轴有二个交点.

综上所述,得知原题结论成立.

六 结合函数与反函数考虑

例9 解方程组

y=10x (1)

y-1ga=-(x-a) (2)

解 将(1)看作是指数函数的图象;而(2)的几何解释是一条斜率

等于-1的直线.不难证明这条直线垂直于直线y=x,并经过y=1gx图象上一点(a,1ga)。解此方程组就是求曲线(1)与直线(2)的交点。

因为y=10x与y=1ogx互为相反函数，它们的图象关于直线y=x对称。而直线（2）又与对称轴相垂，根据平面几何对称的知识，曲线（1）与直线（2）的交点，必是点（a,1ga）关于直线y=x为对称的点，所以这点坐标为（1ga，a）。于是原方程的解是x=1ga.y=a

实践表明，补充一些从函数整体性认识出发，兼顾到方程和不等式各部分间关系的练习，对于巩固并加深函数性质的认训，对于提高解方程、解不等式的能力都有较好的效果。