上海市四校2009届高三质量调研
数学（理科）试题
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、准考证号填写清楚.
2.本试卷共有21道试题，满分150分.考试时间120分钟.
题号
一
二
三
总分
16
17
18
19
20
21
得分
一、填空题 (本大题满分55分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分。
1．已知
，若
为纯虚数，则
的值为
。
2．已知集合
，且
，则实数的取值范围是
。
3．已知函数
，
。
4．球面上有A、B、C三点，AB＝AC＝2，
，球心到平面ABC的距离为1，则球的表面积为
。
5．已知数列
满足：
，且对任意的正整数
，都有
，若数列
的前项和为
，则
。
6．若
，且
，则
_________。
7．已知双曲线
的左焦点在抛物线
的准线上，则
。
8．已知对于任意实数
，函数
满足
，若方程
有且仅有2009个实数解，则这2009个实数解之和为
。
9．袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球（球的大小均相同），从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，已知得0分的概率为
，则袋中黑球的个数为。
10．
中，
分别是角
的对边，已知
，
，现有以下判断:
① 
不可能等于15；②
若
,则
；③若
,则
有两解。请将所有正确的判断序号填在横线上____________。
11．如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB的中点，E
是边AC上任一点，连结DE，F是线段DE上一点，连结BF，
设，
，
，且
，则△BDF的面积S的最
大值是 。
二、选择题(本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分。
12．设已知全集
，集合
，则
等于
( )
（A）
（B）
（C）
（D）
13．设
（ ）
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
14．已知点
是直线
上一动点，PA、PB是圆
的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB（C为圆心）面积的最小值为2，则k的值为
（ ）
（A）3 （B）
（C）
（D）2
15．已知不等式
对于
,
恒成立,则实数的取值范围是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
三、解答题(本大题满分90分)本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
16.(本题满分11分)如图，
、是单位圆
上的点，
是单位圆与轴正半轴的交点，点的坐标为
，三角形
为等边三角形。求
及
的值。
17. (本题满分12分) 本题共有3个小题，每小题满分4分。
如图，四面体
中，
、
分别是
、
的中点，
。
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求异面直线
与
所成角的大小；
（Ⅲ）求点到平面
的距离。
18. (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分。
某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产。已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
项目
类别
年固定成本
（单位：万美元）
每件产品成本
（单位：万美元）
每件产品销售价
（单位：万美元）
每年最多可生产的件数（单位：件）
A产品
20
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，为常数，且
。另外，年销售
件B产品时需上交
万美元的特别关税。
（1）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润
，
与生产相应产品的件数之间的函数关系并指明其定义域；
（2）如何投资才可获得最大年利润。
19. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
已知函数
，
（1）判断
的奇偶性，并说明理由；
（2）当
时，讨论函数在区间
上的单调性。
20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。
在直角坐标系
中，椭圆
的左、右焦点分别为
,
也是抛物线
的焦点，点
为
与
在第一象限的交点，且
。
（Ⅰ）求点的的坐标及椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线
，且与椭圆交于
两点，提出一个与
面积相关的问题，并作出正确解答。
21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知为实数，数列
满足
，当
时，
，
（1）当
时，填写下列列表格：
2
3
35
100
（2）当时，求数列的前100项的和
；
（3）令
，求证：当
时，
。
2008学年度四校质量调研
高三数学试卷（理科）
一、填空题：
1．
2． 
3．
4．12
5．
6．11 7．
8．2009
9．4个 10．①②
11．解: 
。因为△ABC的面积为1, 
,所以,△ABE的面积为
,因为D是AB的中点,所以, △BDE的面积为
,因为
,所以△BDF的面积为
,当且仅当
时,取得最大值。
二、选择题：
12．B 13．C 14．D 15．D
三、解答题：
16．解：(Ⅰ)因为
点的坐标为
，根据三角函数定义可知
，
，
，
2分
所以
4分
(Ⅱ)因为三角形
为正三角形，所以
，
，
，
5分
所以
8分
所以
。
11分
17．解：方法一：（I）证明：连结OC，因为
所以
又
所以
，
2分
在
中，由已知可得
而
所以
所以
即
，
而
所以
平面
。
4分
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角， 5分
在
中，
因为
是直角斜边AC上的中线，所以
所以
所以异面直线AB与CD所成角的大小为
。
8分
（III）解：设点E到平面ACD的距离为
，因为
9分
在
中，
所以
而
所以
，
所以点E到平面ACD的距离为
。
12分
方法二：（I）同方法一。
（II）解：以O为原点，如图建立直角坐标系，则
，设
的夹角为
，则
所以异面直线AB与CD所成角的大小为。
（III）解：设平面ACD的法向量为
则
令
得
是平面ACD的一个法向量。又 
所以点E到平面ACD的距离 
。
18．解：（Ⅰ）由年销售量为
件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润
分别为：
且
2分
所以
5分
（Ⅱ）因为
所以
为增函数，
，所以
时，生产A产品有最大利润为
（万美元）
7分
又
，所以
时，生产B产品
有最大利润为460（万美元） 9分
现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：
11分
所以：当
时，投资生产A产品200件可获得最大年利润;
当
时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；
当
时，投资生产B产品100件可获得最大年利润。12分
19．解：（1）当
时，
，
成立，所以
是奇函数；
3分
当
时，
，这时
所以是非奇非偶函数；
6分
（2）当
时，
设
且
,则
9分
当
时，因为且，所以
所以
，
，所以是区间
的单调递减函数。 12分
同理可得是区间
的单调递增函数。
14分
20．解：（Ⅰ）由抛物线
：
知
，设
，
在上，且
，所以
，得
，代入，得
，
所以
。
4分
在
上，由已知椭圆的半焦距
，于是
消去
并整理得 
， 解得
（
不合题意，舍去）．
故椭圆的方程为
。 7分
（另法：因为在上，
所以
，所以，以下略。）
（Ⅱ）由
得
，所以点O到直线
的距离为
，又
，
所以
，
且
。
10分
下面视提出问题的质量而定：
如问题一：当
面积为
时，求直线的方程。（
） 得2分
问题二：当面积取最大值时，求直线的方程。（
） 得4分
21．解：(1)
2
3
35
100
97
94
3
1
4分
（2）
由题意知数列
的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,
6分
从而
=
8分
=
。
10分
（3）当
时，因为
,
所以
12分
当
时，
因为，所以
，
14分
当
时，
所以
。
16分
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