上海市四校2009届高三质量调研
数学（文科）试题
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚.
2.本试卷共有21道试题，满分150分.考试时间120分钟.
一、填空题 (本大题满分55分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分。
1．已知
，若
为纯虚数，则
的值为
。
2．已知集合
，且
，则实数的取值范围是
。
3．已知函数
，
。
4．在
的二项展开式中，中间项的系数是__________。
5．已知数列
满足：
，且对任意的正整数
，都有
，若数列
的前项和为
，则
。
6．已知双曲线
的左焦点在抛物线
的准线上，则
。
7．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是
。
8．已知对于任意实数
，函数
满足
. 若方程
有且仅有2009个实数解，则这2009个实数解之和为
。
9．袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球（球的大小均相同），从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，已知得0分的概率为
，则袋中黑球的个数为。
10．
中，
分别是角
的对边，已知
，
，现有以下判断:
① 
不可能等于15；②
若
,则
；③若
,则
有两解。请将所有正确的判断序号填在横线上____________。
11．如图，半圆的直径
，
为圆心，
为半圆
上不同于
的任意一点，若
为半径
上的动点，
则
的最小值是__________。
二、选择题(本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分。
12．设已知全集
，集合
，则
等于
( )
13．设
（ ）
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
14．已知点P（x，y）是直线kx + y + 4 = 0（k > 0）上一动点，PA、PB是圆C：
的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为 （ ）
15．已知不等式
对于
,
恒成立,则实数的取值范围是( )
三、解答题(本大题满分90分)本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
16.(本题满分11分) 如图，
、是单位圆
上的点，
是单位圆与轴正半轴的交点，点的坐标为
，三角形
为等边三角形。求
及
的值。
17. (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分。
如图，四面体
中，、
分别是
、
的中点，
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求异面直线
与
所成角的大小。
18. (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分。
某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产。已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
项目
类别
年固定成本
（单位：万美元）
每件产品成本
（单位：万美元）
每件产品销售价
（单位：万美元）
每年最多可生产的件数（单位：件）
A产品
20
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，为常数，且
。另外，年销售
件B产品时需上交
万美元的特别关税。
（1）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润
，
与生产相应产品的件数之间的函数关系并指明其定义域；
（2）如何投资才可获得最大年利润。
19. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
已知函数
，
（1）判断
的奇偶性，并说明理由；
（2）当
时，判断在区间
上的单调性，并给出证明。
20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。
在直角坐标系
中，椭圆
的左、右焦点分别为
,
也是抛物线
的焦点，点
为
与
在第一象限的交点，且
。
（Ⅰ）求点的的坐标及椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线
，且与椭圆交于
两点，提出一个与
面积相关的问题，并作出正确解答。
21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知为实数，数列
满足
，当
时，
，
（1）当
时，填写下列列表格：
2
3
35
100
（2）当时，求数列的前100项的和
；
（3）证明：对于数列，一定存在
，使
。
2007学年度四校质量调研
高三数学试卷(文科)
一、填空题：
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．2009 9．4个 10．①② 11．
二、选择题：
12．B 13．C 14．D 15．D
三、解答题：
16．解：(Ⅰ)因为
点的坐标为
，根据三角函数定义可知
，
，
， 2分
所以
4分
(Ⅱ)因为三角形
为正三角形，所以
，
，
，
5分
所以
7分
所以
。
11分
17．方法一：（I）证明：连结OC，因为
所以
又
所以
，
2分
在
中，由已知可得
而
所以
所以
即
，
而
所以
平面
。
5分
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角， 7分
在
中，
因为
是直角斜边AC上的中线，所以
所以
所以异面直线AB与CD所成角的大小为
。
12分
18．解：（Ⅰ）由年销售量为
件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润
分别为：
且
2分
所以
5分
（Ⅱ）因为
所以
为增函数，
，所以
时，生产A产品有最大利润为
（万美元）
又
，所以
时，生产B产品
有最大利润为460（万美元） 8分
现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：
10分
所以：当
时，投资生产A产品200件可获得最大年利润;
当
时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；
当
时，投资生产B产品100件可获得最大年利润。12分
19．解：（1）当
时，
，
成立，所以
是偶函数；
3分
当
时，
，这时
所以是非奇非偶函数；
6分
（2）当
时，
设
且
,则
9分
当时，因为且，所以
所以
，
，所以是区间
的单调递减函数。 14分
20．解：（Ⅰ）由抛物线
：
知
，设
，
在上，且
，所以
，得
，代入，得
，
所以
。
4分
在
上，由已知椭圆的半焦距
，于是
消去
并整理得 
， 解得
（
不合题意，舍去）．
故椭圆的方程为
。
7分
（另法：因为在上，
所以
，所以，以下略。）
（Ⅱ）由
得
，所以点O到直线
的距离为
，又
，
所以
，
且
。
10分
下面视提出问题的质量而定：
如问题一：当
面积为
时，求直线的方程。（
） 得2分
问题二：当面积取最大值时，求直线的方程。（
） 得4分
21．解：(1)
2
3
35
100
97
94
3
1
4分
（2）
由题意知数列
的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,
6分
从而
=
8分
=
10分
（3）证明：①若
,则题意成立，
12分
②若
,此时数列的前若干项满足
,即
，
设
,则当
时,
，
从而此时命题成立； 14分
③若
,由题意得
,则由②的结论知此时命题也成立，
综上所述,原命题成立。 16分
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