北京市2009届高三数学期末试题分类汇总――函数

1、（2009崇文区）函数            C

（A）                  （B）

（C）                  （D）  

2、（2009石景山区）函数的反函数是（　　）C

A．

B．

C．

D．

3、（2009石景山区）设函数，若，，则关于的方程的解的个数为（　　）C

A．1

B．2

C．3

D．4

4、（2009东城区）已已知函数f(x)=-在区间上的反函数是其本身，则可以是     （   ）B

A．[-2，-1]       B [-2，0]        C．[0，2]         D．

5、（2009海淀区）已知定义域为R的函数

，那么等于  （    ）D

       A．1                          B．62                     C．64                      D．83

6、（2009西城区）已知函数，那么函数的反函数的定义域为（  ）B

A.                            B.   

C.                      D.  R

7、（2009崇文区）下列命题中：

①若函数的定义域为R，则一定是偶函数；

②若是定义域为R的奇函数,对于任意的R都有,则函数的图象关于直线对称；

③已知,是函数定义域内的两个值，且，若，则是减函数；

④若f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x+2)也为奇函数，则f (x)是以4为周期的周期函数.

其中正确的命题序号是________．①④

8、（2009丰台区）函数f ( x ) = 2^?x ( 0＜x≤3 )的反函数的定义域为____________________

9、（2009昌平区）函数的图象过点（２，３），则　　　，＝　　　　　．  4,10

10、（2009宣武区）设函数 则=_________

11、（2009崇文区）已知函数，是的一个极值点．

（Ⅰ）求的单调递增区间；

（Ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围．

解：（Ⅰ）.      --------------------------------------------------------------1分

∵是的一个极值点，

∴是方程的一个根，解得.     ---------------------------3分

令，则，解得或.       ------------------------5分

∴函数的单调递增区间为，.      -----------------------6分

（Ⅱ）∵当时，时，

∴在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增.           --------8分

∴是在区间[1，3]上的最小值，且 .       --------------10分

若当时，要使恒成立，只需，  ----12分

即，解得 .    ---------------------------------13分

12、（2009丰台区）已知函数f ( x ) =。

       （Ⅰ）求函数f ( x )在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f ( x )的极大值和极小值。

解：（Ⅰ）由已知  得f′( x ) = ………………………………… 3分

              又f′( ? 1 ) =   所求切线方程是    9x ? 4y + 27 = 0 ……………… 5分

       （Ⅱ）因为    f′( x ) = f′( x ) = 0 x₁ = 0 , x₂ = 2 ………6分

              又函数f ( x )的定义域是x≠1的所有实数，则x变化时，f′( x )的变化情况如下表：

x

(－∞,0)

0

( 0 , 1 ) , (1 , 2 )

2

( 2 , +∞ )

f′( x )

+

0

?

0

+

                                                            ………… 9分

       所以当x = 0时，函数f ( x )取得极大值为6；当x = 2时，函数f ( x )取得极小值为18。

                                                               ………… 13分

13．（2009丰台区）     已知函数f ( x ) = 3^x , f ( a + 2 ) = 18 , g ( x ) =? 3^ax ? 4^x的义域为[0，1]。

       （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若函数g ( x )在区间[0，1]上是单调递减函数，求实数的取值范围。

解法一：（Ⅰ）由已知得     3^a+2 = 183^a = 2a = log₃2 …………… 3分

              （Ⅱ）此时    g ( x ) =? 2^x ? 4^x               ……………………………… 6分

              设0x₁＜x₂1，因为g ( x )在区间[0，1]上是单调减函数

              所以       g ( x₁ ) = g ( x₂ ) =0成立 … 10分

              即    +恒成立           由于+＞2⁰ + 2⁰ = 2

              所以       实数的取值范围是2  ……………………………… 13分

       解法二：（Ⅰ）由已知得     3^a+2 = 183^a = 2a = log₃2 …………… 3分

              （Ⅱ）此时    g ( x ) =? 2^x ? 4^x               ……………………………… 6分

              因为g ( x )在区间[0，1]上是单调减函数

              所以有    g ( x )′=ln2 ? 2^x ? ln 4 ? 4^x = ln 2[2 ? (2^x)² + ? 2^x ] 0成立…10分

              设2^x = u∈[ 1 , 2 ]        ## 式成立等价于  ? 2u² +u0 恒成立。

              因为u∈[ 1 , 2 ]    只须       2u 恒成立，………………………… 13分

              所以实数的取值范围是2

14、（2009石景山区）已知函数的图象过点.

（Ⅰ）若函数在处的切线斜率为，求函数的解析式；

（Ⅱ）若，求函数的单调区间.

解：（Ⅰ）．                        ………………………2分

由题意知，得  ．    …………………5分

        ∴ ．                     ……………………6分

（Ⅱ）．

        ∵ ，

∴ ．

由解得或，

由解得．  ……………10分∴ 的单调增区间为：和；

的单调减区间为： ．……12分

15、（2009西城区）已知f (x)、g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个函数.

设f (x)=x²+ax，g(x)=x+b(R)，l(x)= 2x²+3x-1，h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个二次函数.

（Ⅰ）设，若h (x)为偶函数，求；

（Ⅱ）设，若h (x)同时也是g(x)、l(x) 在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；

（Ⅲ）试判断h(x)能否为任意的一个二次函数，并证明你的结论.

（Ⅰ）解：设h(x) = m f(x)+ng(x)，则

,

因为为一个二次函数，且为偶函数,

所以二次函数的对称轴为y轴，即，所以，则，

则；                                           

（Ⅱ）解：由题意, 设 (R, 且)

     由h (x)同时也是g(x)、l(x) 在R上生成的一个函数,

     知存在使得,

     所以函数,

     则,                                    

消去, 得,

    因为, 所以,           -----------7分

    因为b>0,

    所以  （当且仅当时取等号）,

    故a+b的最小值为.                                ---------------9分

（Ⅲ）结论：函数h(x)不能为任意的一个二次函数.

      以下给出证明过程.

      证明：假设函数h(x)能为任意的一个二次函数,

      那么存在m₁, n₁使得h(x)为二次函数y=x², 记为,

即；1

      同理，存在m₂, n₂使得h(x)为二次函数,记为,

即              2

      由2-1，得函数,

      令，化简得对R恒成立,

      即对R恒成立,

      所以, 即，

      显然，与矛盾,

      所以，假设是错误的，

故函数h(x)不能为任意的一个二次函数.                   ---------------14分

      注：第（Ⅲ）问还可以举其他反例.

16、（2009宣武区）已知：函数f(x)=ax+bx－c (其中a,b,c都是常数，xR). 当x=1时，函数f(x)的极植为－3－c.

 （1）试确定a,b的值；

  (2) 讨论函数f(x)的单调区间；

 （3）若对于任意x>0,不等式f(x)－2c恒成立，求c的取值范围。

解:（1）由，得，

当x=1时，的极值为，

，得，

 ……………………………………………………… 4分

（2），

     ，

     令 ，则，得x=0或x=1

     当x变化时，，的变化情况列表如下

x

0

1

+

0

-

0

+

递增

极大值

-c

递减

极小值

-3-c

递增

函数的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是。 ……… 8分

（3） 对任意恒成立，

     对任意恒成立，

     当x=1时，

     ，得，

     或 ………………………………………………………………… 14分

17、（2009东城区）已知函数.

（Ⅰ）设曲线在点处的切线为，若与圆相切，求 的值；

（Ⅱ）当时,求函数的单调区间.

解: （Ⅰ）依题意有，.                            ┄┄┄┄┄3分

        因此过点的直线的斜率为，又

       所以，过点的直线方程为.  ……………………….4分

又已知圆的圆心为，半径为，依题意，，

       解得.                                                ┄………6分

（Ⅱ） .         

因为，所以，又由已知 .                    ……………….9分

令，解得，令，解得.       ┄┄┄┄11分

所以,的单调增区间是,的单调减区间是.  …………13分