重庆市万州区2008-2009学年高三第一次诊断性
数 学(理科)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷共三个大题，22个小题，满分150分，考试时间为120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卷上.
2．第I卷每小题选出答案后，用笔填写在答题卷上“第I卷答题栏”对应题目的答案栏内.不能答在试题纸上.
3．第II卷各题一定要做在答题卷限定的区域内.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A?B)＝P(A)?P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选答案的番号填在答题卷的相应位置上.
1. 已知 ，那么角 是（ ）
（Ａ）第一或第二象限角 （Ｂ）第二或第三象限角
（Ｃ）第三或第四象限角 （Ｄ）第一或第四象限角
2. “a =
（A）充要 （B）必要而不充分
（C）充分而不必要 （D）既不充分也不必要
3. 已知集合 Z}，则 =（ ）
（A）{－1，1} （B）{0}
（C）{－1，0} （D）{－1，1，0}
4. 在等比数列 中， 、 、 成等差数列，则公比 等于（ ）
（A）1或2 （B） 或
（C）1或 （D） 或2
5．
如图，在长方体ABCD-A1B
（A）
（B）
（C）
（D）
6.已知 是 所在平面内一点， 为 边中点，且 ，则（ ）
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （D）
7. 一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（ ）
（A）24种 （B）48种 （C）72种 （D）144种
8. 若函数 则对任意的 ，且 ，有（ ）
（A） （B）
（C） （D）
9. 函数 的图象恒过点A，若点A在直线
上，其中m 的最小值为（ ）
（A）7 （B）8 （C）9 （D）10
10．定义 ，设实数 满足约束条件 ，若定义 ，则 的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案填在答题卷的相应位置上.
11. 函数 的反函数的定义域为 .
12.已知直线l1： ，l2过点P（? 3，1），且l 1到l 2的角为45 ，则l2的方程为_______.
13.若
, 则
______________.(用数字作答)
14. 在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图
为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个
大正方形（如图）. 如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，
直角三角形中较小的锐角为 ，那么sin2 的值等于 .
15. 设O是坐标原点，F是抛物线 的焦点，A是抛物线上的一点， 与x轴正向的夹角为60°，则 为 .
16. 若 是以2为周期的偶函数，当 时， ，在区间 内关于 的方程 （ 且 ）有4个不同的根，则 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共76分）把解答题答在答题卷限定的区域内.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分13分）
已知集合A＝ ， .
（Ⅰ） 当a＝2时，求A B；
（Ⅱ） 求使B A的实数a的取值范围.
18.（本题满分13分）
已知向量
（Ⅰ）当 时，求函数 的值域；
（Ⅱ）若 的值.
19.（本题满分13分）
已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 . 设两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同.
（I）用 表示 ；
（II）求证： （ ）.
20.（本题满分13分）
2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：
福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮
数量 1 1 1 2 3
从中随机地选取5只.
（I）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；
（II）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推. 设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望.
21.（本题满分12分）
已知函数 .
(Ⅰ) 求f ?1(x)；
(Ⅱ) 若数列{an}的首项为a1=1， (nN+)，求{an}的通项公式an；
(Ⅲ) 设bn=an+12+an+22++a2n+12，是否存在最小的正整数k，使对于任意nN+有bn< 成立. 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
22. (本题满分12分)
已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足： ，且 .
（I）求动点P的轨迹G的方程；
（II）过点B的直线 与轨迹G交于两点M，N.试问在x轴上是否存在定点C ,使得 为常数.若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.
高2009级第一次诊断性考试数学(理科)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1～
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. ； 12 . ； 13. 31；
14. ； 15. ； 16. - ，0 .
三、解答题（本大题共6小题，共76分）
17.（本题满分13分）
解：（Ⅰ）当a＝2时，A＝ ， …………………………2分
B＝ …………………………4分
∴ A B＝ …………………………6分
（Ⅱ）∵(a2＋1)－a＝(a－ )2＋ >0，即a2＋1>a
∴B={x|a<x<a2+1} ……………………7分
①当
②当
由B A得： 2≤a≤3 …………………10分
③当
由B A得 －1≤a≤－ …………………12分
综上，a的范围为：[－1,－ ]∪[2,3] …………………13分
18．（本题满分13分）
解：（Ⅰ）由 ………4分
∵
∴ 的值域为[－1，2] ……………………7分
（Ⅱ）∵
∴
∴ ………………10分
∴ ………………13分
19. （本题满分13分）
解：（Ⅰ） ， ， ……………………2分
设 与 在公共点 处的切线相同
由题意 ，
即 ……………………4分
由 得： ，或 （舍去）
即有 ……………………6分
（Ⅱ）设 ，……………………7分
则 ……………………9分
x 时 <0，x >0
∴ 在 为减函数，在 为增函数， ……………………11分
于是函数 在 上的最小值是:F(a)=f(a)－g(a)=0 ……………………12分
故当 时，有 ，
所以，当 时， ……………………13分
20. （本题满分13分）
解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率
………………5分
（Ⅱ） …………………6分
…………10分
ξ的分布列为：
ξ 10 8 6 4
P
…………13分
21．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵ ， ∴ …………………………1分
由y= 解得： …………………………2分
∴ ………………………3分
（Ⅱ）由题意得： …………………………4分
∴
∴{ }是以 =1为首项，以4为公差的等差数列. …………………………6分
∴ ，∴ . ………………………7分
（Ⅲ）∴ ………8分
则
∴
∴ ，∴ {bn}是一单调递减数列. ………………………10分
∴ ，要使 ，则 ，∴
又kN* ，∴k8 ，∴kmin=8
即存在最小的正整数k=8，使得 ……………………12分
22.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）由余弦定理得： ……1分
即16＝
＝ ＝
所以 ，
即 ……………………………………………4分
（当动点P与两定点A,B共线时也符合上述结论）
所以动点P的轨迹为以A,B为焦点，实轴长为 的双曲线
所以，轨迹G的方程为 …………………………………………6分
（Ⅱ）假设存在定点C(m,0),使 为常数.
①当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为
…………………………………………7分
由题意知，
设 ，则 ， …………………8分
于是
∴
＝ ………………9分
＝
要是使得 为常数，当且仅当 ，此时 ………………11分
②当直线l与x轴垂直时， ,当 时 .
故，在x轴上存在定点C(1,0) ,使得 为常数. …………………………12分
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