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    江苏省如皋市2009届高三第一次统一考试

    数学试卷(文科)

    一．填空题

    １． 设集合, ,  则A∩B=           ．

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    ２．在等比数列中，，公比q是整数，则=        ．

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    ３． 已知0<2a<1,若A=1+a2, B=, 则A与B的大小关系是           ．

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    ４． 在数列中，已知，当时，，那么           ．

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    ５． 正数满足，则的最小值为        __．

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    ６． 已知数列，，且数列的前项和为，那么的值为__________．

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    ７． 已知函数的定义域是R，则实数k的取值范围是 _       ．

    ８． 等差数列的前15项的和为-5，前45项的和为30，则前30项的和为________．

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    ９． 已知两个等差数列的前n项的和分别为，且，则 ＝_    ．

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    10．若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是          ．

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    11．． 若正数a、b满足ab=a+b+3, 则ab的取值范围是             ．

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    12． 设≥0，≥0，且，则的最大值为____    __．

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    13．不等式的解集是           ．

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    14． 若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围        ． 

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    二．解答题

    15．．（本题14分）设全集为R,集合A={ㄏ(3-)},B={ㄏ},

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    求．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    16．设数列的前项和为．已知，，．

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    （Ⅰ）设，求数列的通项公式；

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    （Ⅱ）求数列{}的通项公式．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    17．已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为．

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    （Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；

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    （Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    18．已知, 若在区间上的最大值为, 最小值为

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    , 令．

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    (1) 求的函数表达式；

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    (2) 判断的单调性, 并求出的最小值．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    19．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为平方米，人行道的宽分别为米和米（如图）

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    （１）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数　的解析式；

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    （２）要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？

     

     

     

     

     

     

     

     

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    20．已知函数满足．

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       （１）求的值；

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       （２）若数列 ，求数列的通项公式；

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       （３）若数列满足，是数列前项的和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在指出的取值范围，并证明；若不存在说明理由．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    一、．填空题

    1．设集合, ,  则A∩B=           

    2． 在等比数列中，，公比q是整数，则= ―128      

    3． 已知0<2a<1,若A=1+a2, B=, 则A与B的大小关系是   A<B 

    4．在数列中，已知，当时，，那么.

    5． 正数满足，则的最小值为__  

    6． 已知数列，，且数列的前项和为，那么 的值为______99____

    7． 已知函数的定义域是R，则实数k的取值范围是 _

    8． 等差数列的前15项的和为-5，前45项的和为30，则前30项的和为___5_____

    9． 已知两个等差数列的前n项的和分别为，且，则 ＝__

    10．若是等差数列，首项，，则使前n项和 成立的最大正整数n是  4006  

    11．若正数a、b满足ab=a+b+3, 则ab的取值范围是     

    12．设≥0，≥0，且，则的最大值为______

    13．不等式的解集是或__

    14．若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围（,）_

    二．解答题

    15．（本题14分）设全集为R,集合A={ㄏ(3-)},B={ㄏ},

    求．

     

    解：A=[-1,3)                                            ……3分

    , B=(-2,3]                                            ……6分

    [-1,3)                                      ……9分

                           ……14分

    16．（本题14分）设数列的前项和为．已知，，．

    （1）设，求数列的通项公式；

    （2）求数列{}的通项公式．

    解：（1）依题意，，即，   ……3分

    由此得．                              ……6分

    因此，所求通项公式为

    ，．                          ……8分

    （2）由①知，，

    于是，当时，

    ，                                     ……12分

                                                        13分

                                  ……14分

    17．（本题15分）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为．

    （1）若方程有两个相等的根，求的解析式；

    （2）若的最大值为正数，求的取值范围．

    解：（1）设由得

        它的解集为（1，3）得方程的两根为1和3且a<0

        即  ……（1）                      ……3分

         有等根得

                 ……（2）                      ……6分

         由(1)(2)及得

    故的解析式为                       ……8分

    （2）由

    及                      ……10分

    由                                           ……12分

    解得                               ……15分

    18．（本题15分）已知, 若在区间上的最大值为, 最小值为, 令．

    (1) 求的函数表达式；

    (2) 判断的单调性, 并求出的最小值．

    解：(1) 函数的对称轴为直线, 而

    ∴在上                           ……3分

    ①当时，即时，         ……5分

    ②当2时，即时，          ……7分

                     ……8分

    (2)

    ．                                    ……15分

    19．（本题16分）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为平方米，人行道的宽分别为米和米（如图）

    （1）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数 的解析式；

    （2）要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽该如何设计？

    解：（1）设休闲区的宽为米，则其长为米，

       ∴，

      ∴

          …8分

       （2），当且仅当时，公园所占面积最小，                                                             ……14分

         此时，，即休闲区的长为米，宽为米。……16分

    20．已知函数满足．

       （1）求的值；

       （2）若数列 ，求数列的通项公式；

       （3）若数列满足，是数列前项的和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在指出的取值范围，并证明；若不存在说明理由．

    解：（1）令，， ，                 ……2分

    令，                                      ……5分

    （2）∵  ①

    ∴  ②

    由（Ⅰ），知

    ∴①+②，得

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