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    山东省莱芜二中2008―2009学年高三年级二模检测

    数学试题（理科）

    本试卷分Ⅰ卷和II卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.

    第Ⅰ卷

    注意事项：

    1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

    2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不准答在试卷面上.

    3．参考公式：棱锥的体积公式，其中S表示棱锥的底面积，h为高.

    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的，把正确选项的代号涂在答题卡上.

    1．在复平面内，复数对应的点位于                                                   （    ）

           A．第一象限            B．第二象限            C．第三象限            D．第四象限

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    2．在等差数列中，若前5项和等于                                          （    ）

           A．4                        B．－4                     C．2                        D．－2

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    3．若直线所截的弦长为，则实数a的值为（    ）

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           A．－1或          B．1或3                 C．－2或6              D．0或4

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    4．在空间中，有如下命题：

           ①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；

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           ②若平行内任意一条直线m//平面，则平面//平面；

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           ③若平面与平面的交线为m，平面内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面；

           ④若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心.

    其中正确命题的个数为                                                                                    （    ）

           A．1                        B．2                        C．3                        D．4

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    5．从2008名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2008人中，每人入选的概率                 （    ）

           A． 不全相等                                         B．均不相等

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           C．都相等，且为                           D．都相等，且为

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    6．已知a,b是不共线的向量，那么A、B、C三点共线的充要条件为                                                   （    ）

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           A．         B．          C．           D．

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           A．                      B．                     

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           C．                      D．

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    8．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与

       输出的y值相等，则这样的x值的个数是（    ）

           A．1                        B．2                       

           C．3                        D．4

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    9．定义行列式运算：

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    将函数向左平移m个单位（m>0），所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是                                                                   （    ）

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           A．                     B．                      C．                   D．

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    10．已知函数时，则（    ）

    2,4,6

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           C．                          D．

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    11．已知M是△ABC内的一点，且和

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    △MAB的面积分别为的最小值是                                          （    ）

           A．9                        B．18                      C．16                      D．20

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    12．如果消息M发生的概率为P（M），那么消息M所含的信息量为

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    ，若小明在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消费中，信息量最大的是                                          （    ）

           A．小明在第4排                                    B．小明在第5列    

           C．小明在第4排第5列                          D．小明在某一排

     

    第Ⅱ卷

    2,4,6

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    二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

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    14．设x，y满足的最大

    值是           .

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    15．设

    展开式中含x2项的系数是        .

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    16．如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用

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    油漆刷一遍，若每平方米用漆0.2kg，则共需油

    漆大约           kg.（尺寸如图所示，单位：

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    米，取3）

     

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    三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时要写出必要的文字说明或推演步骤.

    17．（本小题满分12分）已知空间向量

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       （1）求及的值；

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       （2）设函数的最小正周期及取得最大值时x的值.

     

     

     

     

     

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       （1）求证：PA⊥B1D1；

       （2）求平面PAD与平面BDD1B1所成锐二

    面角的余弦值.

     

     

     

     

     

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    19．（本小题满分12分）某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：

    版本

    人教A版

    人教B版

    苏教版

    北师大版

    人数

    20

    15

    5

    10

     

       （1）从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；

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       （2）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为，求随机变量的变分布列和数学期望.

     

     

     

     

     

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    20．（本小题满分12分）已知数列，定义其倒均数是.

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       （1）求数列{}的倒均数是，求数列{}的通项公式；

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       （2）设等比数列的首项为－1，公比为，其倒数均为，若存在正整数k，使得当恒成立，试找出一个这样的k值（只需找出一个即可，不必证明）

     

     

     

     

     

     

     

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    21．（本题满分12分）椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为与y轴交于P点（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且

       （1）求椭圆方程；

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       （2）若的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

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    22．（本小题满分14分）已知函数有下列性质：“若

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    ，使得”成立.

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       （1）利用这个性质证明唯一；

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       （2）设A、B、C是函数图象上三个不同的点，试判断△ABC的形状，并说明理由.

     

     

     

     

     

     

     

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    一、选择题

    2,4,6

    二、填空题

    13．   14．3   15．－192    16． 22.2

    三、解答题

    17．解：（1）∵

    ∴①……………………2分

    ∴

    ∴②……………………4分

    联立①，②解得：……………………6分

    （2）

    ……………………10分

    ∴……………………11分

    当

    此时……………………12分

    18．解：以D1为原点，D1A1所在直线为x轴，D1C1所在直线为y轴，D1D所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

    则D1（0，0，0），A1（2，0，0），B1（2，2，0），C1（0，2，0），D（0，0，2），A（2，0，2），B（2，2，2），C（0，2，2）P（1，1，4）………………2分

       （1）∵

    ∴

    ∴PA⊥B1D1.…………………………4分

    （2）平面BDD1B­1的法向量为……………………6分

    设平面PAD的法向量，则n⊥

    ∴

    ∴…………………………10分

    设所求锐二面角为，则

    ……………………12分

    19．解：（1）从50名教师随机选出2名的方法数为

    选出2人使用版本相同的方法数为

    故2人使用版本相同的概率为：

    …………………………5分

    （2）∵，

    0

    1

    2

    P

    ∴的分布列为

     

     

    ………………10分

    ∴……………………12分

    （可以不扣分）

    20．解：（1）依题意，

    即

    当

    两式相减得，得

    ∴……………………4分

    当n=1时，

    ∴=1适合上式……………………5分

    故…………………………6分

    （2）由题意，

    ∴

    ………………10分

    不等式恒成立，即恒成立.…………11分

    经检验：时均适合题意（写出一个即可）.……………………12分

    21．解：（1）设，

    由条件知

    ∴

    故C的方程为：……………………4分

    （2）由

    ∴…………………………5分

    设l与椭圆C交点为

    （*）

    ……………………7分

    ∵

    ∴

    ∴

    消去

    ∴

    整理得………………9分

    ，

    因，

    ∴

    ∴

    ∴

    容易验证所以（*）成立

    即所求m的取值范围为………………12分

    22．（1）证明：假设存在使得

    ∴

    ∵…………………………2分

    ∴

    ∴上的单调增函数.……………………5分

    ∴是唯一的.……………………6分

    （2）设

    ∵

    ∴上的单调减函数.

    ∴……………………8分

    ∵

    ∴…………10分

    ∵…………12分

    ∴

    ∴为钝角

    ∴△ABC为钝角三角形.……………………14分

     

     

     


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