黄冈八所重点高中高三五月模拟考数学试卷（理科）

（含答案及评分标准）

一.选择题：本大题10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求。

1.若,是虚数单位,且,则在复平面内,复数所对应的点在(    ).

A.第一象限       B.第二象限        C.第三象限        D.第四象限

2.已知,其中,则满足条件的不共线的

  向量共有(    ).

A.个               B.个               C.个               D.个

3. 函数的一条对称轴方程为 （    ）

A            B           C          D 

4.在四边形中，，

则的值为（  　）    

A  0　　　B 　　　C  4　　　D 

5. 已知,若时有成立,则的值为(   )    

A.0       B.      C.      D.不确定

6.已知,则(    ).

A.       B.          C.        D.不存在

7.设双曲线的两条渐近线与右准线的三角形区域(包含边界)为,为内一个动点,则目标函数的最小值为(    ).

    A.        B.          C.         D.

 8.已知是双曲线的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是(  ).

A.           B.          C.           D.

9. 数列，2005，……，从第二项开始每一项等于它相邻两项的乘积减去1。问有多少个实数x能够使得2008成为这个数列的某一项？（     ）

A．无穷多个        B．2个           C．3个           D．4个

10. 过四面体的顶点作半径为的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切。若，则四面体的外接球的半径为(  )

二.填空题：本大题5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上。

11.已知二项式展开式的第项与第项之和为零,那么等于   

12. 甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为,且,若,则称甲乙”心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,得出他们”心有灵犀”的概率为     .

13. 已知函数,则的值为       .

14.如右图所示,在单位正方体的面对

角线上存在 一点使得最短,则

的最小值为     

15. 对于函数，（ ）有下列命题：

①函数的定义域是，值域是；

②函数的图像是中心对称图形，且对称中心是；

③函数在时，在与上单调递增；

④函数必有反函数，且当时，;

⑤不等式的解集就是不等式的解集.其中正确的命题有                           .     

三.解答题：本大题6个小题,共75分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

 16.(本小题满分12分)

已知是定义在上的偶函数,当 时,,当时,的图像是斜率为且在轴上的截距为的直线在相应区间上的部分.

     ⑴求、的值；

     ⑵写出函数的表达式,作出其图像,并根据图像写出函数的单调区间.

17.(本题满分12分)

 四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）

纪念币

A

B

C

D

概率

1/2

1/2

a

a

这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示正面向上的个数。

（1）求概率p(ξ)

（2）p（ξ=2）为最大时，a的取值范围。

（3）求ξ的数学期望。

18.(本题满分12分)

 如图,矩形与所在平面垂直,将矩形沿对折,使得翻

 折后点落在上,设.

 ⑴试求关于的函数解析式；

 ⑵当取最小值时,指出点的位置,

  并求出此时与平面所成的角；

 ⑶在条件⑵下,求三棱锥 内切球的半径.

19.(本题满分12分)

已知双曲线的右焦点是,右顶点是,虚轴的上端点

  是,,.

   ⑴求双曲线的方程；

   ⑵设是双曲线上的点,过点、的直线与轴交于点,若,求直线 的斜率.

20.(本题满分13分)

已知函数(为常数)是实数集上的奇函数,函数是区间 上的减函数.

 ⑴若在上恒成立,求的取值范围；

 ⑵讨论关于的方程的根的个数.

21.(本题满分14分)

 已知负数a和正数b，令a1=a，b1=b，且对任意的正整数k，当≥0时,有ak+1=ak，

bk+1=；当<0,有ak+1 =，bk+1 = bk．

（1）求bn-an关于n的表达式；

（2）是否存在a,b，使得对任意的正整数n都有bn>bn+1？请说明理由．

（3）若对任意的正整数n，都有b2n-1>b2n，且b2n=b2n+1，求bn的表达式．

答案解析

一.选择题(本大题10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)

 1. 选：C  因，由复数相等的定义：

2.选：C  依题意很容易写出16组向量的坐标即

  但与共线；共线；共线，所以16-4=12（个）

3. 选：D  原式即，画图可得对称轴为或利用三角函数的图像特征：对称轴一定过最值点，同样可得。

4. 选A：  因所以，又由知，所以四边形为平行四边形

 故

5.选A

6.选C：

7. 选B：如图

8. 选D：由双曲线的对称性知点M一定在y轴上，设边的中点为，由，所以，故点坐标是代入双曲线方程得

9. 解：由递推关系可得各项为，2005，，，，，2005，…，对 归纳可证，所以2008为数列的项，，，之一等于2008，因此有4个这种。

 10. 选：C.  过作平面的垂线，垂足为，作，垂足为，，垂足为，则，且有。由于，则，，，因此为半径为的球的直径，从而四面体的外接球的球心在的延长线上，于是有，解得。

二.填空题(本大题5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上)

 11．填：2  通项公式，故，解得

12. 填：0.28    

13.   填：  

14.将矩形A1D1CB沿A1B折起使之与直角三角形A1AB在同一面内如右图

连接D1A交A1B于P点,此点即使的值最小值为

 15. 填：①②③④⑤ 

三.解答题(本大题6个小题,共75分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.解：（1）。                                        

(2)  ----------------------------------------6分                           

画出在上的图像如图所示.∴函数的单调增区间是和,

   单调减区间是和.-------------------------------------------12分

17.(本题满分12分)

解：（1）p(ξ个正面向上，4-ξ个背面向上的概率，其中ξ可能取值为0，1，2，3，4。

∴p(ξ=0)= (1-)2(1-a)2=(1-a)2

p(ξ=1)= (1-)(1-a)2+(1-)2?a(1-a)= (1-a)

p(ξ=2)= ()2(1-a)2+(1-)a(1-a)+ (1-)2?a2=(1+2a-2 a2)

p(ξ=3)= ()2a(1-a)+ (1-) a2=

p(ξ=4)= ()2 a2=a2 ------------------------------------------------------4分

(2) ∵0＜a＜1,∴p(ξ=0) ＜p(ξ=1),p(ξ=4) ＜p(ξ=3)

则p(ξ=2)p(ξ=1)= (1+2a-2 a2)－≥0

   p(ξ=2)p(ξ=3)≥0

由    ，即a∈[]

                                         -------------------------------------------8分

  （3）由（1）知ξ的数学期望为Eξ=0×2+1×(1-a)+2×(1+2a-2a2)+3×+4×=2a+1   ------------------------------------------------------------------------12分

18.(本题满分12分)    

解：(1)显然h＞1，连接AQ，∵平面ABCD⊥平面ADQP,

PA⊥AD，∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥DQ,

∴AQ⊥DQ,AQ=y2－h2.∵Rt△ABQ∽Rt△QCD,

CQ=,

∴,即.∴y=(h＞1).   ---------------------------4分                                                                              

(2)y===+≥2,                                                                                 

当且仅当,即h=时，等号成立.

此时CQ=1,即Q为BC的中点，于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ,PQ是其交线，则过A作AE⊥平面PDQ,∴∠ADE就是AD与平面PDQ所成的角，由已知得AQ=,PQ=AD=2,

∴AE=1,sinADE=,∠ADE=30°.           -----------------------------------------------8分           

(3)设三棱锥P－ADQ的内切球半径为r,则(S△PAD+S△PAQ+S△PDQ+S△ADQ)?r=VP－ADQ .

∵VP－ADQ=S△ADQ?PA=,S△PAQ=1,S△PAD=,S△QAD=1,S△PDQ=,

∴r=----------------------------------------------------------------12分

 19.(本题满分12分)

解：（1）由条件知A（a，0），B（0，b），F（c，0）

故双曲线的方程为------------------------6分

（2）∵点F的坐标为

∴可设直线l的方程为，

令x=0，得即设Q（m，n），则由

故直线l的斜率为-------------------------------------------------------------------12分

 20.(本题满分13分)

解：（1）是奇函数，

       则恒成立.

又在[－1，1]上单调递减，

       令则

       .-----------------------------6分

   （2）由（I）知

       令，

       ，

       当上为增函数；

       上为减函数，