唐山市2005―2006学年度高三年级高二次模拟考试
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷(1-2页,选择题)和第Ⅱ卷(3-8页,非选择题)两部分,共150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、试题科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。
3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B互独立,那么P(A?B)=P(A)?P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率:Pn(k)=CPk?(1-P)n-k
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给了贩四个选项中,有且只有一项符合题目要 .
1.函数y=-的反函数是
A.y=ln(x2-1)(x2≤-) B.y=-ln(x2-1)(x≤-)
C.y=ln(x2-1)(x≤1) D.y=-ln(x2-1)(x≤-1)
2.已知复数(m∈R)在复平面内对应的点位于直线x+y=0上,则m的值为
A.- B. C.-2 D.2
3.已知各项都为正数的等比数列{an}的公比不为1,则an+an+3与an+1+an+2的大小关系是
A.不确定的,与公比有关 B.an+an+3<an+1+an+2
C.an+an+3=an+1+an+2 D.an+an+3>an+1+an+2
4.长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动,则点C的轨迹是
A.线段 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
5.正六棱柱ABCDEF-A1B
6.设AB是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为16,则∠AOB=
A.30° B.45° C.60° D.90°
7.已知平面α,β和直线l,m,使α∥β的一个充分条件是
A.l∥m,l∥α,m∥β B. l⊥m,l∥α,m∥β
C. l∥m,l⊥α,m⊥β D. l⊥m,l∥α,m⊥β
8.的值为
A.- B. C. D.-
9.在△ABC中,C=45°,则(1-tanA)(1-tanB)=
A.1 B.
10.设集合M={x|x=
A.{x|x=6k+1,k∈Z} B. {x|x=6k-1,k∈Z}
C. {x|x=2k+3,k∈Z} D. {x|x=3k-1,k∈Z}
11.如图,在3×4的方格(每个方格都是正方形)中,共有正方形
A.12个 B.14个
C.18个 D.20个
12.O为△ABC的内切圆圆心,AB=5,BC=4,CA=3,下列结论正确的是
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(共10小题,共90分)
注意事项:
1.用钢笑或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。
13.(x+2x-1)6的展开式的中间项是_______。
14.正四棱柱的底面边长为1,高为2,则它的外接球的表面积等于__________.
15.设z=x+2y,变量x,y满足条件,则z的最大值为_________.
16.下列命题:①f(x)=sin3x-sinx是奇函数;
②f(x)=sin3x-sinx的最小值为-2;
③若a>0,则ax1+x2≤a2x1+a2x2成立;
④函数f(x)=lg(x2-x+1)的值域为R.
其中正确命题的序号是______(写出所有正确命题的序号).
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=1+sin2x,g(x)=
(Ⅰ)求满足f(x)=g(x)的x值的集合;
(Ⅱ)求函数的单调递减区间.
18.(本小题满分12分)
某厂每日生产一种大型产品2件,每件产品的投入成本为2000元,产品质量为一等品的概率为0.75;二等品的概率为0.2,每件一等品的出厂价为10000元,每件二等品的出厂价为8000元,若产品质量不能达到一等品或二等品,除成本不能收回外,每生产一件产品还会带来1000元的损失,求该厂每日生产这咱产品所获利润ξ(元)的分布列和期望.
19.(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD中,∠DAB=60°,AC∩BD=O,,PO⊥平面ABCD,PO=AO=,点E在PD上,PE:ED=3:1.
(1)证明:PD⊥平面EAC;
(2)求二面角A-PD-C的余弦值;
(3)求点B到平面PDC的距离.
20.(本小题满分12分)
对于函数f(x),使x-f(x)=0的x叫做f(x)的不动点,容易求得f(x)=x2的不动点为0和1;f(x)是否有不动点与函数g(x)=x-f(x)的性质密切相关.
(Ⅰ)求f1(x)=的不动点;
(Ⅱ)设a>0,且a≠1,求使f2(x)=logax有不动点的a的取值范围.
21.(本小题满分12分)
过双曲线x2-y2=1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点,记双曲线渐近线的方向向量为v,当在v方向上的投影的绝对值为时,求直线l的方程.
22.(本小题满分14分)
(Ⅰ)已知多项式fn(x)=(1+x)(1-x)(1+x)…[1+(-1)n-1x](n∈N*)展开式的一次项系数为an,二次项系数为bn.
(1)求数列{an}的通项;
(2)求证:数列{bn}的通项bn= -;
(Ⅱ)已知多项式gn(x)=(1+x)(1-2x)(1+22x)…[1+(-2)n-1x](n∩N*)展开式的一次项系数为cn,二次项系数为dn,试求列{cn}和数列{bn}的通项.
唐山市2005―2006学年度高三年级第二次模拟考试
一、AADCB DCACB DA
二、(13)160;(14)6π;(15)8;(16)①②③
三、(17)解:(Ⅰ)f(x)=(sinx+cosx)2=[sin(x+]2=[g(x)]2
由f(x)=g(x),得g(x)=0,或g(x)=1
∴sin(x+)=0,或sin(x+)=1……………………………………………3分
∵-
∴x+=0,或x+=,或x+=
x=-或x=0或x=
所求x值的集合为{-,0,} …………………………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,得
2kπ+≤x≤2kπ+…………………………………………………………9分
∵-≤x≤且x≠-,
∴≤x≤
∴函数的单调递减区间为[,]………………………………………12分
18.解:依题意,ξ的可能值为-6000,3000,12000,5000,14000,16000,…2分
P(ξ=-6000)=0.052=0025,
P(ξ=3000)=2×0.2×0.05=0.02,
P(ξ=12000)=0.22=0.4,
P(ξ=5000)=2×0.75×0.05×=0.075,
P(ξ=14000)= 2×0.75×0.2×=0.3,
P(ξ=16000)=0.0752=0.5625…………………………………………………………8分
ξ的分布列为
ξ
-6000
3000
12000
5000
14000
16000
P
0.0025
0.02
0.04
0.075
0.3
0.5625
……………………………………………………………………………………………10分
ξ的期望为
Eξ=-6000×0.0025+3000×0.02+12000×0.04+5000×0.075+14000×0.3+16000×0.5625=14100(元) ………………………………………………………12分
19.解法一:(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD,∴OD为PD在平面ABCD内的射影
又ABCD为菱形,∴AC⊥OD,∴AC⊥PD,即PD⊥AC
在菱形ABCD中,∵∠DAB=60°,
分∴OD=AO?cot60°=1
在Rt△POD中,PD=,由PE:ED=3:1,得
DE=又∠PDO=60°,
∴OE2=OD2+DE2-2OD?DEcos60°=
∴OE2+DE2=OD2,∴∠OED=90°,即PD⊥OE
PD⊥平面EAC…………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA,PD⊥EC,则∠AEC为二面角A-PD-C的平面角tan∠AEO=,易知OE为AC的垂直平分线,所以∠AEC=2∠AEO,
∴cos∠AEC=cos2∠AEO-sin2∠AEO
=………………………………………8分
(Ⅲ)由O为BD中点,知点B到平面PDC的距离等于点O到平面PDC距离的2倍,由(Ⅰ)知,平面OEC⊥平面PDC,作OH⊥CE,垂足为H,则OH⊥平面PDC,在Rt△OEC中,∠EOC=90°,OC=
∴OH=
所以点B到平面PDC的距离为……………………………………………12分
解法二:建 立如图所示的坐标系O-xyz,其中A(0,-,0),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),P(0,0,).
(Ⅰ)由PE:ED=3:1,知E(-)
∵
∴
∴PD⊥OE,PD⊥AC,∴PD⊥平面EAC……………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA,PD⊥EC,则∠AEC为二面角A-PD-C的平面角
∵
∴cos∠AEC=cos<……………………………………………8分
(Ⅲ)由OBD中点知,点B到平面PDC的距离为点O到平面PDC距离的2倍,又,cos∠OED=cos<
所以点B到平面PDC的距离为
d=2………………………………………………12分
20.解:(Ⅰ)x-f1(x)=0,即x-,解得x1=0,x2=1,x3=-1.
所以,函数f1(x)的不动点为0,1,-1. ………………………………………………4分
(Ⅱ)令g(x)=x-f2(x)=x-logax(x>0),则g′(x)=1-…………6分
(1)若0<a<1,则logae<0,g′(x)>0,则g(x)在(0,+∞)内单调递增.
又g(a)=a-1<0,g(1)=1>0,所以g(x)=0即x-f2(x)=0在(0,1)内有一根. ………………8分
(2)若a>1,则当x∈(0,logae)时,g′<0,g(x)单调递减,当x∈(logae,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递增;当x=logae时,g(x)有最小值logae-loga(logae).
由g(1)=1>0知,当且仅当logae-loga(logae)≤0时,g(x)=0即x-f2(x)=0有实根.
由a>1,知logae-loga(logae)≤0 …………………11分
综合所述,a的取值范围是(0,1)∪(1,e). …………………………………………12分
21.解:由已知,F(),双曲线的渐近线y=±x的方向向量为v=(1,±1),当l斜率k不存在时,不失一般性,取A(,-1)、B(,-1)、B(,1),则在v上的投影的绝对值为,不合题意 ………………………………………………2分
所以l的斜率k存在,其方程为y=k(x-).
由得(k2-1)x2-2k2x+2k2+1=0(k2≠1)
设A(x1,k(x1-))、B(x2,k(x2-)),则x1+x2= ………………6分
当v=(1,1)时,设与v的夹角为θ,则=(x2-x1,k(x2-x1))在v上投影的绝对值
=
=
由,得2k2-5k+2=0,k=2或k=.
根据双曲线的对称性知,当v=(1,-1)时,k=-2或k=.
所以直线l的方程为y=±2(x-)或y=±.…………………12分
22.解:(Ⅰ)(i)an=1-1+1-…+(-1)n-1=.………………………………3分
(ii)用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,由f1(x)=1+x,知b1=0,而=0,等式成立. ……4分
(2)假设当n=k时等式成立,即bk= -,
那么由fk+1(x)=fk(x)[1+(-1)(k+1)-1x]=fk(x)[1+(-1)kx],得
bk+1=bk+(-1)kak=-
=
=-
等式仍然成立. …………………………………………………………………8分
根据(1)和(2)知,对任意n∈N*,都有bn=-……………………9分
(Ⅱ)cn=1-2+22+…+(-2)n-1=……………………………11分
由g1(x)=1-x,知d1=0,
当n≥2时,由gn(x)=gn-1(x)[1+(-2)n-1x],知dn=dn-1+(-2)n-1cn-1,
∴dn-dn-1=(-2)n-1cn-1=(-2)n-1?.
∴dn=d1+(d2-d1)+(d3-d2)+…+(-2)(dn-dn-1)
=0+
=
=
=
当n=1时上式也成立.
∴dn=……………………………………………………14分
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