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    高2009级数学模拟练习题(理科)（二）

    班次_____姓名________

     

    一. 选择题：（本题共10道小题，每小题5分，共50分。每题只有一个正确的答案）

    1.设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M-P={x|xM且xp},则M-（M-P）等于（    ）A. P             B. MP           C. MP              D. M

    2.已知命题：不等式的解集为R；命题：为减函数. 则是成立的（    ）

    A.充分不必要条件  B.必要不充分条件C.充要条件      D.既不充分也不必要条件

    3.如果数列{an}满足是首项为1，公比为2的等比数列，则a100等于（    ）A．2100         B．299                C．25050           D．24950

    4.若函数f(x)=asinx－bcosx在x=处有最小值－2，则常数a、b的值是（    ）

    A．a=－1,b=          B．a=1,b=－       C．a=,b=－1      D．a=－,b=1

    5.已知向量，，若与 共线，则等于(    )

    A．；        B．；           C．；           D．；

    6.定义在R上的偶函数满足，且在[-1，0]上单调递增，设， ，，则大小关系是(    )

    A．     B．      C．      D．

    7. 函数的图象恒过点A，若点A在直线

    上，其中m的最小值为（   ）A．7   B．8 C．9 D．10

    8.已知倾斜角的直线过椭圆的右焦点Ｆ交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ为右准线上任意一点，则为（  ）Ａ．钝角Ｂ．直角Ｃ．锐角Ｄ．都有可能

    9. 如图，在矩形中，是的

    中点，沿将折起，使二面角为，

    则四棱锥的体积是（    ）.

       A.    B.   C.    D.

    10. 已知函数，且，的导函数，函数的图象如图所示.

       则平面区域所围成的面积是(     )                                A．2    B．4    C．5                  D．8

    二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案填在答题卷的相应位置上.)

    11. 函数的反函数的定义域为           .

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    12.已知直线l1：，l2过点P（? 3，1），且l 1到l 2的角为45，则l2的方程为_______.

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    13.已知在同一个球面上,若,则两点间的球面距离是             

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    14. 在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图

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    为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个

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    大正方形（如图）.　如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，

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    直角三角形中较小的锐角为，那么sin2的值等于             .

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    15. 设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为               .

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    16. 若是以2为周期的偶函数，当时，，在区间内关于的方程（且）有4个不同的根，则的取值范围是      .

    三.解答题：（本题共6个小题，共76分。要求写出详细的解答过程）

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    17.（本小题满分13分）设向量，其中.（1）求的取值范围；

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    （2）若函数的大小.

     

     

     

     

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    18.(本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．

    （1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；

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    （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

     

     

     

     

     

     

     

     

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    19.（本小题满分13分）已知函数.

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    （1）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；

    （2）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    20. (本小题满分13分)

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    如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.

    （1）证明：AE⊥PD;

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    （2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E―AF―C的余弦值.

     

     

     

     

     

     

     

     

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    21．本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

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    （1）若，求的值；

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    （2）求四边形面积的最大值．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    22.（本小题满分12分）已知数列的首项，，．

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    （1）求的通项公式；

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    （2）证明：对任意的，，；

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    （3）证明：．

     

     

     

     

     

     

     

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    1、B  2、B  3、D  4、D  5、A   6、D   7、B  8、C  9、A  10、B

    11、12、13、14、15、16、-，0

    17. 解：（1）∵，

    ∴，

    ∵，∴，∴，

    ∴。………………………………….6分

    （2）∵，

    ，

    ∴，

    ∵，∴，∴，∴…….12分

    18、的所有可能取值有6，2，1，-2；，

    ，

    故的分布列为：

    6

    2

    1

    -2

    0.63

    0.25

    0.1

    0.02

     

    （2）

    （3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为

    依题意，，即，解得 所以三等品率最多为

    19、(Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x,

       

     

     

    x

    (-∞,-2)

    -2

    (-2,0)

    0

    (0,+∞)

    f′(x)

    +

    0

    -

    0

    +

    f(x)

    ㄊ

    极大值

    ㄋ

    极小值

    ㄊ

     

     

     

     

     

     

     

    由点在函数y=f′(x)的图象上,

        又所以

        所以,又因为′(n)=n2+2n,所以,

        故点也在函数y=f′(x)的图象上.

    (Ⅱ)解:,

    由得.

    当x变化时,?的变化情况如下表:

    注意到,从而

    ①当,此时无极小值；

    ②当的极小值为,此时无极大值；

    ③当既无极大值又无极小值.

     

    20、（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.

    因为      E为BC的中点，所以AE⊥BC.

         又   BC∥AD，因此AE⊥AD.

    因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

    而    PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

    所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

    所以 AE⊥PD.

     

    （Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.

    由（Ⅰ）知   AE⊥平面PAD，

    则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

    在Rt△EAH中，AE=，

    所以  当AH最短时，∠EHA最大，

    即     当AH⊥PD时，∠EHA最大.

    此时    tan∠EHA=

    因此   AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，

    所以    PA=2.

    解法一：因为   PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

            所以   平面PAC⊥平面ABCD.

            过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

            过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

           在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=,

           又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO?sin45°=,

           又    

           在Rt△ESO中，cos∠ESO=

           即所求二面角的余弦值为

    21、（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，

    直线的方程分别为，．??????????????????????????????????? 2分

    如图，设，其中，

    且满足方程，

    故．①

    由知，得；

    由在上知，得．

    所以，

    化简得，

    解得或．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

    （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

    ．??????????????????????????????????????????????????? 9分

    又，所以四边形的面积为

    ，

    当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．?????????????????????? 12分

    解法二：由题设，，．

    设，，由①得，，

    故四边形的面积为

    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

    ，

    当时，上式取等号．所以的最大值为．     12分

    22、解法一：（Ⅰ），，，

    又，是以为首项，为公比的等比数列．

    ，．

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    ，原不等式成立．

    （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有

    ．

    取，

    则．

    原不等式成立．

    解法二：（Ⅰ）同解法一．

    （Ⅱ）设，

    则

    ，

    当时，；当时，，

    当时，取得最大值．

    原不等式成立．

    （Ⅲ）同解法一．

     

     

     

     


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