2006年普通高等学校招生全国统一考试黄冈市答题适应性训练试题
数 学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘帽在答题卡上指定位置。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。
3.考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a，b为两个不相等的实数，集合M={a2
A.1 B
2.若
，则下列结论不正确的是
A.a2<b2 B.ab<b2 C.
D.|a|-|b|=|a-b|
3.从8名女生，4名男生中选出6名学生级成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则汪同的抽取方法种数为
A.C
B.C
C.
D.A
4.已知方程(x2-6x+k)(x2+6
x+h)=0的4个实根经过调整后组成一个以2为首项的等比数列，则k+h=
A.2-2 B.2+2 C.-6+6 D.24
5.若已知tan10°=a，求tan110°的值，那么在以下四个答案：①
④
中，正确的是
A.①和③ B.① 和④ C.②和③ D.②和④
6.设F1、F2分别为双曲线
(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点。若
的最小值为8a，则该双贡线离心率e的取值范围是
A.(0,2) B.(1,3) C.[2,3] D.[3,+∞]
7.已知f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)的图象如下左图所示，则f(x)的图象只可能是下右图中的
8.如右图所法，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上
存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为( )
A.2 B.
C.2+ D.
9.已知O平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个动点，点P满足
λ(
)，λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的
A.重心 B.外心 C.垂心 D.内心
10.设定义域为R的函数f(x)=
,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有3个不同的实数解x1、x2、x3，则动点P的轨迹一定通过△ABC的
A.4 B.
C.9 D.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
注意事项：
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.
11.i是虚数单位，复数z=
的虚部为_________.
12.已知函数f(x)=sinx+5x,x∈(-1,1),如果f(1-a)+f(1-a2)<0,则a的取值范围是________。
13.由线性约束条件
所确定的区域面积为S，记S=f(t)(0≤t≤1)，则f(t)等于_____。
14.函数y=
图像上至少存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则公比的取值范围是_________。
15.对于集合N={1，2，3，…，n}及其它的每个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排我该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数，例如集合{1，2，4，6，9}的交替和是9-6+4-2+1=6，当集合N中的n=1时，它的闪替和S1=1；当集合N中的n=2时，集合N={1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2-1)=4.请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1，2，3…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=____.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或解题步骤.
16.(本小题满分12分)
已知△ABC的三个顶点分别是A(3，0)、B(0，3)、C(cosα，sinα),其中
(1)若
，求解α的值；
(2)若
求cosα-sinα的值.
17.(本小题满分12分)
设a>0,函数f(x)=x3-ax在［1，+∞］上是单调函数。
(1)求实数a的取值范围；
(2)设x0≥1时有f(x0)≥1,且f(f(x0))=x0，求证：f(x0)=x0.
18．(本小题满分12分)
如图，直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB=90°，BC=AC=2，AAl=
4，D为棱CC1上的一动点，M、N分别为△ABD，△A1B1D的重心．
(1)求证：MN⊥BC；
(2)若二面角C―AB―D的大小为arctan，求点C1到平面A1B1D
的距离；
(3)若点C在△ABD上的射影正好为M，试判断点C1在△A1B1D的
射影是否为N?并说明理由．
19．(本小题满分12分)
已知某车站每天8：00～9：00、9：00～10：00都恰好有一辆客车到站；8：00～9：00到站的客车A可能在8：10、8：30、8：50到，其概率依次为
9：00～10：00到站的客车B可能在9：10、9：30、9：50到，其概率依次为今有甲、乙两位旅客，他们到站的时间分别为8：00和8：20，试问他们候车时间的平均值哪个更多?
20．(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x2-ax+a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0<x1，<x2，使得不等式f(x1)>f(x2)成立．
设数列(an)的前，2项和Sn=f(n)，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)试构造一个数列(bn)(写出{bn}的一个通项公式)，满足：对任意的正整数n都有6n<an，
且
=2，bn≠0，并说明理由；
(3)设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ci?ci+1<0的正整数i的个数称为这个数列{cn}的变号数．令cn=1-
(n为正整数)，求数列{cn}的变号数．
21．(本小题满分14分)
如右图，在棱长为1的正方体，ABCD―A1B1C1D1中，M、N分别为线段BB1、AB的中点，O是正方形B1BCC1的中心，过O作直线与直线AM交于点P，与直线CN交于点Q．
(1)求线段PQ的长度；
(2)将侧面ABB1A1无限延展开来得到平面ABB1A1，设平面
ABB1A1内有一动点T，它到直线DD1的距离的平方减去它
到P点的距离的平方，其差为1．请建立适当的直角坐标系，
求出动点丁所构成的曲线K的方程；
(3)在(2)的条件下，请说明以PB为直径的圆与曲线K是否有交
点，如果有请求出此点的坐标；如果没有请说明理由．
2006年普通高等学校招生全国统一考试黄冈市答题适应性训练试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.D点拔：由已知可得M=N，故
，a、b是方程x2-4x+2=0的两根，故a+b=4
2.D 点拔：∵
∴等号取不到，即
故A、B、C均正确，而D显然错误，应为|a|-|b|<|a-b|.
3.A 点拔： 由题意知，选出的6名学生中应有4名女生，2名男生，故共C
种不同的抽取方法。
4.D 点拔：若2为方程x2-6x+k=0的根.∴另一根为4，故k=8.又方程x2+6
的两根与2，4，按一定次序可排成以2为首项的等比数列，故另两根易求出，分别为-2
和-4.∴h=16，∴k+h=24，而其余情况均不可能.
5.C 点拔：tan110°=tan(120°-10°)= 
tan110°=tan(90°+20°)= -cot20°= -
6.B 点拔：
，当且仅当
即
时上式取等号，这时|PF1|=4a，由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，得6a≥2c,故1<e=
7.D 点拔：由f′(x)的图象可知，函数y=f(x)在区间[a，b]上的两端点处取得极值，且从a到b的各点处的切线的斜率是先增大后减小，故选D.
8.D 点拔：如图所示，把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC′D′1,
使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1′，则AD1′=
为所求的最小值.
9.B 点拔：设线段BC的中D，则
∴
∴
∴
=λ(
)=0
∴DP⊥BC.∴点P的轨迹一定通过△ABC的外心.
10.C 点拔：如图，作出函数f(x)的图象，可知关于f(x)的方程有一
正根和一零根，不妨设f(x1)=0且f(x2)=f(x3)=m
∴由图像对称性知x2+x3=2,又x1=1,∴(x1+x2+x3)2=9.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.-3点拔：z=
12.1<a<点拔：易知f(x)为奇函数且在定义域上增函数，∴原不等式可化为f(1-a)<f(a2-1),其等价于不等式组
13.-t2+t+
点拔：如图，由题设条件所确定的区域为图中所示阴影部分.
∴S=×2×1-t2-(1-t)2=-t2+t+.
14.[
)∪(1，
]点拔：函数y=
的图象上的点到原点的最短距离为1，最长距离为3.
故q的最大值为
的最小值为
.又q≠1 ∴q∈[)∪(1, ].
15.n?2n-1点拔：对于任一个不含元素n的子集A，加入一个元素n后成集B，则集合A与集合B“交替和”的和为n.这种构造的集合A集合与集合B是一一对应的，各有2n-1个，切每一对集合的“交替和”的和为n，故非空子集的“交集和”的总和Sn=n?2n-1.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.(1)∵△ABC三个顶点分别是A(3，0)、B(0，3)、C(cosα,sinα),
∴
=(cosα-3,sinα)，
=(cosα，sinα-3), ………………(2分)
由||=||得
即cosα=sinα, ………………(4分)
∵
∴a=
………………(6分)
(2)由
得，(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1
即sinα+cosα=
………………(8分)
∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=
又
∴sinα>0,cosα<0.
(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-(-
)=
, ………………(10分)
∴cosα-sinα=-
………………(12分)
17.(1)y′=f′(x)=3x2-a. ………………(2分)
若f(x)在[1，+∞)上是单调递减函数，则须y′≤0，即α≥3x2恒成立，这样的实数a不存在，故f(x)在[1，+∞)上不可能是单调递减函数； ………………(4分)
若f(x)在[1，+∞)]上是单调递增函数，则a≤3x2恒成立，由于x∈[1，+∞)，故3x2≥3.从而0<a≤3. ………………(6分)
(2)解法一 (反证法)由(1)可知f(x)在[1,+∞)上只能为单调递函数.
假设f(x0)≠x0,
若1≤x0<f(x0)，则f(x0)<f(f(x0))=x0,矛盾； ………………(8分)
若1≤f(x0)<x0,则f(f(x0))<f(x0),即x0<f(x0),矛盾， ………………(10分)
故只有f(x0)=x0成立. ………………(12分)
解法二 设f(x0)=u (u≥1),则f(u)=x0,∴x
两式相减得(x
)-a(x0-u)-x0,
∴(x0-u)(x
+x0u+u2+1-a)=0, …………………(8分)
∵x0≥1,u≥1,∴x+x0u+u2≥3.
又0<a≤3,∴x+x0u+u2+1-a>0.
∴x0-u≤0,即u=x0,亦即f(x0)=x0. …………………(12分)
18.(1)连结DM、D屏延长，分别交AB、A1B1于点P、Q，连结PQ，
∵M、N分别为△ABD、△A1B1D的垂心，则P、Q分别为AB、A1B1的中点，
且
∴PQ∥BB1∥MN， …………………(2分)
∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥BC，∴MN⊥BC. …………………(4分)
(2)连结CP，∵AC=BC，∴CP⊥AB，又∵CC1⊥面ABC，
∴AD=DB=
， ∴DP⊥AB，
∴∠CPD即为二面角C-AB-D的平面角，∴∠CPD=arctan,
在Rt△ABC中，AC=BC=2，∴CP=，
∴在Rt△CDP中,CD=CP?tan∠CPD=2,
∵CC1=AA1=4,∴DC1=2, …………………(6分)
连结C1Q，C1Q=CP=
∵A1D=DB1=
为A1B1的中点，∴DQ⊥A1B1，
∴S△A1B1D=
，
设C1到面DA1B1的距离为h，
∵VC1-A1B1D=VD-A1B1C1,∴h?SA1B1D=C1D?S△A1B1C1,
∴h=
. …………………(8分)
(3)∵CM⊥面ABD，∴CM⊥DP，∴
∴CD=2，∴C1D=2，则DQ=DP，∵MN∥PQ，∴DM=DN，
∵CD2=DM?DP，∴DC
=DN?DQ，
∴△DC1Q~△DNC1,∴∠C1ND=∠DC1Q=90°, …………………(10分)
∴C1N⊥DQ，又∵A1B1⊥面C1CPQ，∴A1B1⊥C1N，
∴C1N⊥面A1B1D,∴C1在面A1B1D的射影即为N. …………………(12分)
解法二：空间向量解法：以C1为原点，如右图建立空间直角坐标系.
(1)设C1D=a(0≤a≤4),依题意有：
D(0，0，a),A(2，0，4),B(0，2，4),C(0，0，4),C1(0，0，0)，
A1(2，0，0)，B1(0，2，0) …………………(2分)
因为M、N分别为△ABD，△A1B1D的重心.
所以M
，
∵
,∴MN⊥BC. …………………(4分)
(2)因为平面ABC的法向量n1=(0，0，-1),设平面ABD的法向量n2=(x1，y1，z1).
令x1=1
n2=
,设二面角C－AB－D为θ，则由tanθ=
，
因此cosθ=
(舍)或a=2,
………………(6分)
设平面A1B1D的法向量为n3=(x,y,z),则
令x=1有n3=1(1，1，1)，
设C1到平面A1B1D的距离为d，则d=
.…………………(8分)
(3)若点C在平面ABD上的射影正好为M，则
，
即(
)?(-2，0，a-4)=0
(舍)或a=2，……(10分)
因此D为CC1的中点，根据对称性可知C1在平面A1B1D的射影正好为N. …(12分)
19.设甲、乙两位旅客的候车时间分别为ξ，η分钟，则他们的分布列为；
甲旅客 乙旅客
ξ 10 30 50 η 10 30 50 70 90
P 
易知Eξ=10×
， …………(8分)
∴Eη=
,…………(10分)
∴Eξ<Eη，旅客甲候车时间的平均值比旅客乙多.
答：旅客甲候车时间的平均值比旅客乙多. …………(12分)
20.(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素，∴△=a2-4a=0a=0或a=4,,
当a=0时，函数f(x)=x2在(0，+∞)上递增，故不存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.
…………(2分)
综上，得a=4，f(x)=x2-4x+4,∴Sn=n2-4n+4,∴an=Sn-Sn-1=
………(5分)
(2)要使
=2，可构造数列bn=n-k, …………………………………………(6分)
∵对任意的正整数n都有bn<an,
∴当n≥2时，n-k<2n-5恒成立且1-k<1,即n>5-k恒成立且k>0,
即
……………………………………(8分)
又bn≠0,∴k∈N*，∴bn=n-
,等等. ……………………………………(9分)
(3)解法一：由题设cn=
,
∵n≥3时，cn+1-cn=
∴n≥3时，数列{cn}递增，
…………………………(11分)
∵a4=-
，可知a4?a5<0,即n≥3时，有且只有1个变号数；
又∵c1=-3,c2=5,c3=-3, 即c1?c2<0,c2?c3<0, ∴此处变号数有2个.
综上得数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3. …………………………(13分)
解法二：由题设cn=,
n≥2时，令cn?cn+1<0
或n=4；
…………………………(11分)
又∵c1=-3,c2=5,∴n=1时也有c1?c2<0.
综上得数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3. …………………………(13分)
21.如右图，连结MO交CC1于E，连结DE，延长DA，CN交于Q，连结OQ交AM于P，则PQ为所求的线段易得
，………………(2分)
在Rr△PMO中，可得到
PO=
，
故PQ=2PO=
. ………………………(4分)
(2)过T作TE⊥DD1于E，过T作TF⊥AA1于F，
⊥平面TEF,故AA1⊥EFTF∥PT，
在Rt△TFE中，TF2=TE2=TE2-1=PT2TE=PT
故T点的轨迹是以P为焦点，以AA1为准线的抛物线，(7分)
以过P点且垂直AA1的直线为x轴，以P点到AA1
的垂线段的中点为原点，建立直角坐标系，设抛物线
的方程y2=2px(p>0),由于P咪到AA1的距离为
，
∴曲线K的方程为y2=
……………(9分)
(3)假设抛物线与圆有交点，设交点为G，则∠PGB为直角，易得PB2==
，且B点在抛物线内部，
故PG2+GB2+， …………………(11分)
又PG2+GB2≥
过G作GH⊥AA1，则PG=HG，
∴PG2+GB2≥
矛盾，故交点G不存在，于是以PB为直径的圆与曲线K没有交点. ……………………(14分)
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