南通市2009届高三第二次调研测试数学试题必做题部分——青夏教育精英家教网——

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试题

南通市2009届高三第二次调研测试

数学试题

必做题部分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，则 ▲ .

2. 若复数z满足zi=2+i（i是虚数单位），则z= ▲ .

3. 已知幂函数的图象过点，则

= ▲ .

4. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全

等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，

那么这个几何体的表面积为 ▲ .

5. 设x₀是方程8－x=lgx的解，且，则k＝ ▲ .

6. 矩形ABCD中，. 在矩形内任取一点P，则的概率为 ▲ .

7. △ABC中，，，则的最小值是 ▲ .

8. 已知，，则等于 ▲ .

9. 右图是由所输入的x值计算y值的一个算法程序，

若x依次取数列（，n≤2009）的

项，则所得y值中的最小值为 ▲ .

10. 已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是双曲线上一点，

且PF₁⊥PF₂，P F₁P F₂ =4ab，则双曲线的离心率是 ▲ .

11. 设函数f(x)=ax+b，其中a，b为常数，f₁(x)＝f(x)，f_n₊₁(x)＝f [f_n(x)]，n＝1，2，….

若f₅(x)=32x+93, 则ab＝ ▲ .

12. 函数f(x)=的值域为 ▲ .

13. 设函数, A₀为坐标原点，A_n为函数y=f（x）图象上横坐标为

的点，向量，向量i=（1，0），设为向量与向量i的夹角，则满足

的最大整数n是 ▲ .

14. 已知l₁和l₂是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，动点B、C分别在l₁和l₂

上，且，过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15. （本题满分14分）

某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：

高一年级

高二年级

高三年级

女生

523

x

y

男生

487

490

z

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.

（1）问高二年级有多少名女生？

（2）现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少

名学生？

16. （本题满分14分）

_如图，_ABCD_为矩形，_CF_⊥_平面_ABCD_，_DE_⊥_平面_ABCD_，

_AB_=4a_，_BC_{= CF=2a}_，_P_为_AB_的中点_.

_（₁_{）求证：平面}_PCF_⊥_平面_PDE_；

_（₂_{）求四面体}_PCEF_的体积_.

17 . （本题满分15分）

△ABC中，角A的对边长等于2，向量m=，向量n=.

（1）求m?n取得最大值时的角A；

（2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值.

18. （本题满分15分）

在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且

OC=1，OA=a+1(a>1)，点D在边OA上，满足OD=a. 分别以OD、OC为长、短半轴的

椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD. 直线l：y=－x+b与椭圆弧相切，与AB交于

点E.

（1）求证：；

（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，

求直线l的方程；

（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，

且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M的

方程．

19. （本题满分16分）

已知函数的导数为. 记函数

k为常数）.

（1）若函数f(x)在区间上为减函数，求的取值范围；

（2）求函数f(x)的值域.

20．（本题满分16分）

设{a_n}是等差数列，其前n项的和为S_n.

（1）求证：数列为等差数列；

（2）设{a_n}各项为正数，a₁=，a₁≠a₂，若存在互异正整数m，n，p满足：①m+p=2n；

②. 求集合的元素个数；

（3）设b_n=(a为常数，a>0，a≠1，a₁≠a₂)，数列{b_n}前n项和为T_n. 对于正整数c，

d，e，f，若c<d<e<f，且c+f=d+e，试比较(T_c)^-1+(T_f)^-1与(T_d)^-1+(T_e)^-1的大小.

附加题部分

21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修4－1：几何证明选讲

_如图，_AB_是_⊙O_{的直径，弦}_BD_、_CA_的延长线

_相交于点_E_，_EF_垂直_BA_{的延长线于点}_F_.

求证： .

B. 选修4－2：矩阵与变换

已知, 求矩阵B.

C. 选修4－4：坐标系与参数方程.

在平面直角坐标系xOy中，动圆（R）的

圆心为，求的取值范围.

D．选修4－5：不等式证明选讲

已知函数. 若不等式（a¹0, a、bÎR）恒成

立，求实数x的范围.

22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上

的一点，.

（1）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60º；

（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的m，

⊥AP，并证明你的结论.

23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数是一个随机变量，它的

分布列为：；设每售出一台电冰箱，电器商获利300元.

如销售不出，则每台每月需花保管费100元. 问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使

月平均收益最大？

南通市2009届高三第二次调研测试

必做题部分

【填空题答案】

1．{2，4}; 2．1－2i ; 3．； 4．； 5．7；

6．； 7．； 8．； 9．17； 10．；

11．6； 12．； 13．3； 14．18．

二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15. （本题满分14分）

某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：

高一年级

高二年级

高三年级

女生

523

x

y

男生

487

490

z

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.

（1）问高二年级有多少名女生？

（2）现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少

名学生？

【解】（1）由题设可知，所以x=510. ………………………6分

（2）高三年级人数为y＋z＝3000－（523＋487＋490+510）＝990，………………9分

现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为：

名. ………………………12分

答：（1）高二年级有510名女生；（2）在高三年级抽取99名学生．……………14分

6ec8aac122bd4f6e 16. （本题满分14分）

_如图，_ABCD_为矩形，_CF_⊥_平面_ABCD_，_DE_⊥_平面_ABCD_，

_AB_=4a_，_BC_{= CF=2a}_，_P_为_AB_的中点_.

_（₁_{）求证：平面}_PCF_⊥_平面_PDE_；

_（₂_{）求四面体}_PCEF_的体积_.

_{【证明】（}₁_）因为_ABCD_为矩形，_AB_{=2BC, P}_为_AB_的中点，

_{所以三角形}_PBC_{为等腰直角三角形，}_∠BPC=45_°_._{…………………………}₂_分

_同理可证_∠APD=45_°_.

_所以_∠DPC=90_°，即_PC_⊥_PD_._{…………………………}₃_分

_又_DE_⊥_平面_ABCD_，_PC_在_平面_ABCD_内_，_所以_PC_⊥_DE._{………………………}₄_分

_因为_DE_∩PD=D_，所以_PC_⊥_PDE_._{…………………………}₅_分

_又因为_PC_在_平面_PCF_内_，_所以平面_PCF_⊥_平面_PDE_._{…………………………}₇_分

【解】（2）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，

所以DE//CF. 又DC⊥CF，

所以 ……………………… 10分

在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则

PQ//BC，PQ=BC=2a.

因为BC⊥CD，BC⊥CF，

所以BC⊥平面PCEF，即PQ⊥平面PCEF，

亦即P到平面PCEF的距离为PQ=2a.………………………12分

………………………14分

（注：本题亦可利用求得）

17 . （本题满分15分）

△ABC中，角A的对边长等于2，向量m=，向量n=.

（1）求m?n取得最大值时的角A的大小；

（2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值.

【解】（1）m?n＝2－. …………………3分

因为 A＋B＋C，所以B＋C－A，

于是m?n＝＋cosA＝－2＝－2.……………5分

因为，所以当且仅当＝，即A＝时，m?n取得最大值.

故m?n取得最大值时的角A＝. …………………………7分

（2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，

由余弦定理，得 b²＋c²－a²＝2bccosA， …………………………9分

即bc＋4＝b²＋c²≥2bc， ……………………… 11分

所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号.……………………… 12分

又S_△_ABC＝bcsinA＝bc≤.

当且仅当a＝b＝c＝2时，△ABC的面积最大为. ………………………15分

18. （本题满分15分）

在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且

OC=1，OA=a+1(a>1)，点D在边OA上，满足OD=a. 分别以OD、OC为长、短半轴的

椭圆在 6ec8aac122bd4f6e 矩形及其内部的部分为椭圆弧CD. 直线l：y=－x+b与椭圆弧相切，与AB交于

点E.

（1）求证：；

（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，

求直线l的方程；

（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，

且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M

的方程．

【解】题设椭圆的方程为.…………………………1分

由消去y得. …………………………2分

由于直线l与椭圆相切，故△＝(－2a²b)²－4a²(1+a²) (b²－1)＝0，

化简得. ① …………………………4分

（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），

于是OB的中点为.…………………………5分

因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点，

即，亦即. ② …………………………6分

由①②解得，故直线l的方程为 …………………………8分

（3）由（2）知.

因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为.………9分

因为圆M在矩形及其内部，所以 ④ ……………………… 10分

圆M与 l相切，且圆M在l上方，所以，即.

………………………12分

代入④得即………………………13分

所以圆M面积最大时，，这时，.

故圆M面积最大时的方程为………………………15分

19. （本题满分16分）

已知函数的导数为. 记函数

k为常数）.

（1）若函数f(x)在区间上为减函数，求的取值范围；

（2）求函数f(x)的值域.

【解】（1）因为f(x)在区间上为减函数，

所以对任意的且恒有成立.

即恒成立.…………………………3分

因为，所以对且时，恒成立.

又<1，所以 …………………………6分

（2）. …………………………7分

下面分两种情况讨论：

（1）当时，是关于x的增函数，值域为

…………………………9分

（2）当时，又分三种情况：

①当时，因为，所以即.

所以f(x)是减函数，.

又，

当，所以f(x)值域为. ………………………10分

②当k=1时，，

且f(x)是减函数，故f(x)值域是. ………………………12分

③当时，是增函数，，

.

下面再分两种情况：

（a）当时，的唯一实根，故，

是关于x的增函数，值域为；

（b）当时，的唯一实根，

当时，；当时，；

所以f(x).

故f(x)的值域为. ………………………15分

综上所述，f(x)的值域为；（）；

（）；（）.………………………16分

20．（本题满分16分）

设{a_n}是等差数列，其前n项的和为S_n.

（1）求证：数列为等差数列；

（2）设{a_n}各项为正数，a₁=，a₁≠a₂，若存在互异正整数m，n，p满足：①m+p=2n；

②. 求集合的元素个数；

（3）设b_n=(a为常数，a>0，a≠1，a₁≠a₂)，数列{b_n}前n项和为T_n. 对于正整数c，

d，e，f，若c<d<e<f，且c+f=d+e，试比较(T_c)^-1+(T_f)^-1与(T_d)^-1+(T_e)^-1的大小.

【证】（1）{a_n}为等差数列，设其公差为，则

，于是（常数），

故数列是等差数列. …………………………3分

【解】（2）因为{a_n}为等差数列，所以是等差数列，

于是可设为常数)，从而.

因为m+p=2n，所以由两边平方得

，即，

亦即，………………………4分

于是，两边平方并整理得，即.

…………………………6分

因为m≠p，所以，从而，而a₁=，所以.

故. …………………………7分

所以

.

因为15有4个正约数，所以数对（x，y）的个数为4个.

即集合中的元素个数为4.………………………9分

（3）因为（常数），

所以数列{b_n}是正项等比数列.

因为a₁≠a₂，所以等比数列{b_n}的公比q≠1.………………………10分

（解法一） ①

. ②

因为，所以要证②，只要证， ③…………………13分

而③

. ④

④显然成立，所以③成立，从而有.…………………16分

（解法二）注意到当n>m时，. ……………………12分

于是

. ……………………14分

而，故. ……………………16分

（注：第（3）问只写出正确结论的，给1分）

附加题部分

6ec8aac122bd4f6e 21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修4－1：几何证明选讲

_如图，_AB_是_⊙O_{的直径，弦}_BD_、_CA_的延长线

_相交于点_E_，_EF_垂直_BA_{的延长线于点}_F_.

求证： .

【证明】连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，

又EF⊥AB，∠EFA=90°，所以A、D、E、F四点共圆.

所以∠DEA=∠DFA. …………………………10分

B. 选修4－2：矩阵与变换

已知, 求矩阵B.

【解】设则， …………………………5分

故 ………………………10分

C. 选修4－4：坐标系与参数方程.

在平面直角坐标系xOy中，动圆（R）的

圆心为，求的取值范围..

【解】由题设得（为参数，R）.…………………………5分

于是，

所以 . ………………………10分

D．选修4－5：不等式证明选讲

已知函数. 若不等式对a¹0, a、bÎR恒成立，

求实数x的范围.

【解】由|且a¹0得.

又因为，则有2. …………………………5分

解不等式得 ……………………… 10分

22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

6ec8aac122bd4f6e 如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上

的一点，.

（1）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60º；

（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的m，

⊥AP，并证明你的结论.

【解】（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)，C(0,1,0), D(0,0,0),

B₁(1,1,1), D₁(0,0,2).

所以

又由的一个法向量.

设与所成的角为，

则=，解得.

故当

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