已知函数f（x）=

1+ln(x+1)

x

（1）求函数的定义域；
（2）确定函数f（x）在定义域上的单调性，并证明你的结论；
（3）当x＞0时，f（x）＞

k

x+1

恒成立，求正整数k的最大值．

已知函数f（x）=

1+ln(x+1)

x

（x＞0），
（1）函数f（x） 在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞

3

x+1

恒成立；
（3）试证：（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e^2n-3（n∈N^*）．

函数f（x）=

1-|x-1|，x∈[0，2] 1 2 (x-2)，x∈[2，+∞)

，则下列说法中正确的是（只写序号）
①函数y=f（x）-ln（x+1）有3个零点；
②若x＞0，时，函数f（x）≤

k

x

恒成立，则实数k的取值范围是[

3

2

，+∞）；
③函数f（x）的极大值中一定存在最小值；
④f（x）=2^kf（x+2k），（k∈N），对于一切x∈[0，+∞）恒成立．

已知函数f（x）=

1+ln(x+1)

x

（x＞0）．
（1）试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；
（2）若f（x）＞

k

x+1

恒成立，求整数k的最大值；
（3）求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e^2n-3．