设函数f（x）=x³+ax和g（x）=bx²+c的一个交点为P（1，m），函数f（x）与g（x）在P点处的切线的斜率的和为2，
（1）用m表示a、b、c；
（2）若函数y=f（x）-g（x）在(-∞，-

1

3

)上是增函数，在(-

1

3

，n)上是减函数，求m的值及n的范围．

已知函数f(x)=lnx，g(x)=

a

x

(a＞0)，设F(x)=f(x)+g(x)．
（I）求函数F（x）的单调区间；
（II）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）的图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

3

恒成立，求实数a的最小值；
（III）是否存在实数m，使得函数y=g(

2a

x2+1

)+m-1的图象与函数y=f（1+x²）的图象恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．