已知函数f（x）=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当a=1时，对任意的正整数n＞1，求证：f(

n

n-1

)＞0，且不等式lnn＞Inn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

都成立．

已知函数f（x）=

1+a•2x

2x+b

，（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3）．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，并写出f（x）的单调区间．

已知函数f（x）=1+ln

x

2-x

（0＜x＜2）．
（1）试问f（x）+f（2-x）的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是请，说明理由；
（2）定义Sn=

2n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

2n-1

n

)，其中n∈N^*，求S₂₀₁₃；
（3）在（2）的条件下，令S_n+1=2a_n，若不等式2an•(an)m＞1对?n∈N^*且n≥2恒成立，求实数m的取值范围．