已知函数f（x）=x++alnx．
（I）求f（x）的单调递增区间；
（II）设a=1，g（x）=f′（x），问是否存在实数k，使得函数g（x）（均的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．

（2009•大连二模）（I）已知函数f（x）=x-

1

x

，x∈(

1

4

，

1

2

)，P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))是f(x)图象上的任意两点，且x₁＜x₂．
①求直线PQ的斜率k_PQ的取值范围及f（x）图象上任一点切线的斜率k的取值范围；
②由①你得到的结论是：若函数f（x）在[a，b]上有导函数f′（x），且f（a）、f（b）存在，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）=成立（用a，b，f（a），f（b）表示，只写出结论，不必证明）
（II）设函数g（x）的导函数为g′（x），且g′（x）为单调递减函数，g（0）=0．试运用你在②中得到的结论证明：
当x∈（0，1）时，f（1）x＜g（x）．