21．如图.直二面角D-AB-E中.四边形ABCD是边长为2的正方形.AE=EB.F为CE上的点.且BF⊥平面ACE. ——青夏教育精英家教网—

21．如图.直二面角D-AB-E中.四边形ABCD是边长为2的正方形.AE=EB.F为CE上的点.且BF⊥平面ACE. (Ⅰ)求证AE⊥平面BCE, (Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小, (Ⅲ)求点D到平面ACE的距离. 解法一:(Ⅰ) ∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵二面角D-AB-E为直二面角,且CB⊥AB, ∴CB⊥平面ABE,∴CB⊥AE,∴AE⊥平面BCE (Ⅱ)连结BD交AC于G,连结FG,∵正方形ABCD边长为2,∴BG⊥AC,BG=, ∵BF⊥平面ACE,由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC,∴∠BCF是二面角B-AC-E的平面角, 由(Ⅰ)AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB.又∵AE=EB,∴在等腰直角三角形中,BE=. 又∵直角三角形BCE中,EC=,BF= ∴直角三角形BFG中,sin∠BGF=,∴二面角B-AC-E等于arcsin. ,(Ⅲ)过E作EO⊥AB交AB于O,OE=1,∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD. 设D到平面ACE的距离为h,∵,∴. ∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=. ∴点D点D到平面ACE的距离为. 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图 ∵AE⊥平面BCE,BE面BCE,∴AE⊥BE,在直角三角形AEB中,AB=2,O为AB的中点 ∴OE=1,A,C, 设平面AEC的一个法向量=,则即解得令x=1,得=是平面EAC的一个法向量,又平面BAC的一个法向量为=, ∴cos()= ∴二面角B-AC-E的大小为arccos. (Ⅲ)∵AD∥z轴,AD=2,∴,∴点D到平面ACE的距离 d=||. 【查看更多】

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1． (本小题满分12分)

如图，直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB = 60°的菱形，ACBD = O，A₁C₁B₁D₁= O₁，E是O₁A的中点．