已知函数,数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)证明:数列是递减数列.

已知函数f(x)=

1

4x+2

(x∈R)．
（Ⅰ）证明f(x)+f(1-x)=

1

2

；
（Ⅱ）若数列{a_n}的通项公式为an=f(

n

m

)(m∈N*，n=1，2，…，m)，求数列{a_n}的前m项和S_m；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足：b1=

1

3

，bn+1=

b

2 n

+bn，设Tn=

1

b1+1

+

1

b2+1

+…+

1

bn+1

，若（Ⅱ）中的S_m满足对任意不小于2的正整数n，S_m＜T_n恒成立，试求m的最大值．

已知函数f(x)=

4x-2

x+1

(x≠-1，x∈R)，数列{a_n}满足 a₁=a（a≠-1，a∈R），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}是常数列，求a的值；
（2）当a₁=4时，记bn=

an-2

a n-1

(n∈N*)，证明数列{b_n}是等比数列，并求出通项公式a_n．

已知函数f（x）=

x

1+x

（x＞0），设f（x）在点（n，f（n））（n∈N*）处的切线在y轴上的截距为b_n，数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，an+1=f(an)(n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{

bn

a 2 n

+

λ

an

}中，仅当n=5时，

bn

a 2 n

+

λ

an

取最小值，求λ的取值范围；
（Ⅲ）令函数g（x）=f（x）（1+x）²，数列{c_n}满足：c₁=

1

2

，c_n+1=g（c_n）（n∈N*），求证：对于一切n≥2的正整数，都满足：1＜

1

1+c1

+

1

1+c2

+…+

1

1+cn

＜2．

已知函数f(x)=

2x

x+2

，数列{an}满足：a1=

4

3

，an+1=f(an).
（1）求证数列{

1

an

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，求证：Sn＜

8

3

.