已知数列{an}.{bn},其中an=1+3+5+-+(2n+1),bn=2n+4(n≥5),试问是否存在这样的自然数n,使得an≤bn成立? 分析 对n赋值后,比较几对an与bn的大小,可作出合理猜测,再用数学归纳法予以证明. 解 an=1+3+5+-+(2n+1)=(n+1)2, 当n=5时,a5=36,b5=25+4=36,此时a5=b5; 当n=6时, a6=49,b6=26+4=68,此时a6<b6; 当n=7时,a7=64,b7=27+4=132,此时a7<b7; 当n=8时,a8=81,b8=28+4=260,此时a8<b8. 猜想:当n≥6时,有an<bn. 3分 下面用数学归纳法证明上述猜想. ①当n=6时,显然不等式成立,∴n=6时,不等式an<bn成立; ②假设当n=k(k≥6)时,不等式成立,即ak<bk,也即(k+1)2<2k+4;当n=k+1时.bk+1=2k+1+4=2(2k+4)-4>2(k+1)2-4=2k2+4k-2, 而(2k2+4k-2)-(k+2)2=k2-6>0(∵k≥6,∴k2>6), 即2k2+4k-2>(k+2)2=[(k+1)+1]2. 由不等式的传递性,知bk+1>[(k+1)+1]2=ak+1. ∴当n=k+1时,不等式也成立. 8分 由①②可知,对一切n∈N,且n≥6,都有an<bn. 综上所述,可知只有当n=5时,an=bn;当n≥6时,an<bn.因此存在使an≤bn成立的自然数n. 10分 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

(本小题满分10分)

已知函数f(x)= m·log2x + t的图象经过点A(4,1)、点B(16,3)及点C(Sn,n),其中Sn为数列{an}的前n项和,n∈N*.

(Ⅰ)求Snan

(Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Tn , bn = f(an) – 1, 求不等式Tn£ bn的解集,n∈N*.

 

 

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若数列{an}满足an+2+pan+1+qan=0(其中p2+q2≠0,且p、q为常数)对任意n∈N*都成立,则我们把数列{an}称为“L型数列”.
(1)试问等差数列{an}、等比数列{bn}(公比为r)是否为L型数列?若是,写出对应p、q的值;若不是,说明理由.
(2)已知L型数列{an}满足an+1+pan+qan-1=0(n≥2,n∈N*,p2-4q>0,q≠0),x1、x2是方程x2+px+q=0的两根,若b-axi≠0(i=1,2),求证:数列{an+1-xian}(i=1,2,n∈N*)是等比数列(只选其中之一加以证明即可).
(3)请你提出一个关于L型数列的问题,并加以解决.(本小题将根据所提问题的普适性给予不同的分值,最高10分)

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(2009•黄浦区二模)若数列{an}满足an+2+pan+1+qan=0(其中p2+q2≠0,且p、q为常数)对任意n∈N*都成立,则我们把数列{an}称为“L型数列”.
(1)试问等差数列{an}、等比数列{bn}(公比为r)是否为L型数列?若是,写出对应p、q的值;若不是,说明理由.
(2)已知L型数列{an}满足an+1+pan+qan-1=0(n≥2,n∈N*,p2-4q>0,q≠0),x1、x2是方程x2+px+q=0的两根,若b-axi≠0(i=1,2),求证:数列{an+1-xian}(i=1,2,n∈N*)是等比数列(只选其中之一加以证明即可).
(3)请你提出一个关于L型数列的问题,并加以解决.(本小题将根据所提问题的普适性给予不同的分值,最高10分)

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