如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm．动点M、N从点C同时出发，均以每秒1 cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2 cm的速度沿BA向终点A移动．连接PM、PN．设移动时间为t(单位：秒，0＜t＜2.5)．

(1)当t为何值时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似？

(2)是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．

(1)求AE的长度；

(2)分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F(F与C在AB两侧)，连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，

①求证：△AEG∽△FEA；

②试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

问题情境：将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放，其中∠ACB＝90°，CA＝CB，∠FDE＝90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．

探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：

解：OM＝ON，证明如下：

连接CO，则CO是AB边上中线，

∵CA＝CB，∴CO是∠ACB的角平分线．(依据1)

∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM＝ON．(依据2)

反思交流：

(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：________

依据2：________

(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．

拓展延伸：

(3)将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．