圆的切线
[1]定义：和圆有的直线叫圆的切线．
[2]判定：（1）到圆心的距离等于这个圆的的直线是圆的切线；
（2）经过半径并且这条半径的直线是圆的切线．
[3]性质：（1）圆的切线过的半径．
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长，圆心和这个点的连线平分．（切线长定理）
结论：P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，C是弧AB上一点，DE切⊙O于C交PA、PB于D、E，则△PDE的周长为．

如图，一个充气的救生圈．虚线所示的大圆，半径是33厘米．实线所示的小圆，半径是9厘米．有两只蚂蚁同时从A点出发，以同样的速度分别沿大圆和小圆爬行．问：小圆上的蚂蚁爬了几圈后，第一次碰上大圆上的蚂蚁．（思考时间：30秒）

27、小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙0中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙0的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，PA．PB组成⊙0的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．

23、切线长定理：
从圆一点可以引圆的条切线，它们的切线长．这一点和圆心的连线这两条切线的角．
即：如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，则PAPB，PO平分∠

30、如图，AB是⊙O的弦，从圆上任意一点作弦CD⊥AB，作∠OCD的平分线交⊙O于点P，若AP=5，则BP的值为（　　）