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    例1:如图(2)所示.中..以AB为直径的⊙O交BC于点D.切线DE交AC于E. 求证: 分析:连结AD.则.要证.只需证AE=EC. 证明:连结AD ÞAE为⊙O的切线 ÞEA=EDÞ DE为⊙O的切线 Þ AB为⊙O的直径ÞÞ Þ DE=EC ÞDE=EA=ECÞ EA=ED 例2.如图(3)所示.PA.PB是⊙O的切线.A.B为切点.PQ⊥OQ于Q.交AB于M 求证:OA2=OM·OQ 证明:连结OP交AB于N PA.PB是⊙O的切线Þ PA=PB ÞOP⊥AB OP平分∠APB PA切⊙O于A Þ OA⊥PA Þ△OAN∽△OPAÞÞOA2=OP·ON PQ⊥OQ,OP⊥ABÞ∠Q=∠ONM=90O ∠NOM=∠QOP Þ△OMN∽△OPQÞ ÞON·OP=OM·OQ OA2=OP·ON ÞOA2=OM·OQ 注:遇到从一点出发的两条切线,常想到切线长定理及图(1)所示的基本图形.这个基本图形中隐含了等腰三角形.全等三角形.相似三角形等条件. 例3:已知.AB为⊙O的直径.过B点作⊙O的切线BC.OC交⊙O于点E.AE的延长线交BC于D. (1)求证:CE2=CD·CB, (2)若AB=BC=2.求CE.CD的长. 分析:要证CE2=CD·CB.只需证:△CED∽△CBE. 证明:(1)连结BE. BC是⊙O的切线Þ∠CBE=∠A OA=OEÞ∠A=∠OEA Þ ∠CBE=∠CED ∠OEA=Þ∠DEC ∠C=∠C Þ△CBE∽△CEDÞ, (2)BC为⊙O的切线 AB为直径 Þ∠ABD=90O AB=2ÞOB=1 ÞOC= ÞCE=-1, BC=2 OE=1 又∵CE2=CD·CB.CB=2 ∴(-1)2=2CD 则:CD= 即:CD.OE的长分别为()和(-1). 注:有切线.并需寻找角的关系时.常添辅助线.从而为利用弦切角定理创造条件. 例4:如图(5)所示.⊙O是的外接圆.的平分线CE交AB于D.交⊙O于E.⊙O的切线EF交CB的延长线于F. 求证:AE2=AD·EF 分析:连结BE.由可得:AE=BE.所以.要证AE2=AD·EF.只需证∽ 证明:连结BE.CE平分ÞÞ=ÞAE=BE =Þ∠EBD=∠ECB Þ ∠EBF=∠BEC+∠ECB EF为切线Þ Þ∽Þ ÞAE2=AD·EF AE=BE 例5:如图(6)所示.⊙O1与⊙O2相交于点M.N.直线AE与⊙O1.⊙O2及MN顺次相交于点A.B.C.D.E. 求证:AB·CD=BC·DE 证明:由相交弦定理可得: 在⊙O1中:AC·CD=MC·NC ÞAC·CD=EC·BC 在⊙O2中:EC·BC=MC·NC Þ·BCÞAB·CD+BC·CD=CD·BC+BC·DE ÞAB·CD=BC·DE. 注:公共弦MN是沟通两个圆的线段关系的“桥梁 . 例6:如图(7)PA切⊙O于点A.PBC为⊙O的割线,PQ=PA.QB的延长线交⊙O于E.QC的延长线交圆于点F. 求证:(1)∽ (2)PQ∥EF 分析:有切线.割线.易联想到切割线定理.故有:AP2=PB·PC.因PQ=PA.所以PQ2=PB·PC.将此式改为比例式.再加上公共角∠BPQ.易证∽.由三角形相似.可得角的相等关系.从而为证EF∥PQ创造了条件. 证明:AP为⊙O的切线 ÞAP2=PB·PC PBC为⊙O的割线 ÞPQ2=PB·PC PQ=AP Þ Þ△PBQ∽△PQCÞ∠PQB=∠PCQ ∠BPQ=∠QPC Þ∠PQB=∠EÞEF∥PQ 四边形EFCB为圆内接四边形Þ∠PCQ=∠E 注:若将条件PQ=PA与结论PQ∥EF交换.命题还成立吗?请同学们自己证明. 例7:如图(8)所示.△ABC内接于⊙O.DA切⊙O于点A.BC的延长线交AD于点D. 求证: 分析:由条件知:这是相似三角形的一种基本图形.易得△ADC∽△BDA.从而得:CA/AB=CD/AD=AD/DB.将此例式CA/AB=CD/AD (或)两边平方,就符合结论的形式.再利用切割线定理的结论进行代换.命题就能得证. 证明:AD为⊙O切线Þ∠DAC=∠B Þ△DAC∽△DBA ∠D=∠D ÞÞ AD为⊙O的切线 ÞAD2=DC·DB Þ. BCD为⊙O的割线 注:本题还可以运用面积法来证明. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    精英家教网如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接DE．
    （1）求证：DE与⊙O相切；
    （2）若⊙O的半径为
    		3
    ，DE=3，求AE．

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    精英家教网如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，CA=4，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，点E是线段AB上的一点，以BE为直径的圆O过点D．
    （1）求证：AC是圆O的切线；
    （2）求AE的长．

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    精英家教网如图所示，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E，过D作DF⊥AC于F．
    （1）求证：DF是⊙O的切线；
    （2）连接DE，若AB=AC=13，BC=10，求△CDE的面积．

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    如图所示，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E，过D作DF⊥AC于F
    （1）求证：DF是⊙O的切线；
    （2）连接DE，且AB=4，若∠FDC=30°，试求△CDE的面积．

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    如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点E，点D是BC边的中点，连接ED．
    （1）试说明：ED是⊙O的切线；
    （2）若⊙O 直径为6，线段BC长为8，求AE的长．

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