已知，如图，过点A、O的圆与y轴相交于一点C，与AB相交于一点E，直线AB的解析式为y=kx+4k，过点A、O的抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P．
（1）若点C的坐标为（0，），AC平分∠BAO，求点B的坐标；
（2）若AC=OE，且点P在AB上，是否存在实数m，对于抛物线y=ax²+bx+c上任意一点M（x，y），都能使（x+2）²+（y-2+m）²=（y-2-m）²成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

已知，如图，过点A、O的圆与y轴相交于一点C，与AB相交于一点E，直线AB的解析式为y=kx+4k，过点A、O的抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P．
（1）若点C的坐标为（0，），AC平分∠BAO，求点B的坐标；
（2）若AC=OE，且点P在AB上，是否存在实数m，对于抛物线y=ax²+bx+c上任意一点M（x，y），都能使（x+2）²+（y-2+m）²=（y-2-m）²成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为
AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P₁位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1，
（Ⅰ）求BC、AP₁的长；
（Ⅱ）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；
（Ⅲ）以点E为圆心作⊙E与x轴相切，探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围．

已知，如图，一条抛物线的对称轴是直线x=

3

2

，经过点（1，-3）、（3，-2），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．D、E分别是边AC、BC上的两个动点（不与A、B重合），且保持DE∥AB．以DE为边向上作正方形DEFG．
（1）求二次函数的解析式．
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（3）当正方形的边GF在AB边上时，求正方形DEFG的边长．
（4）当D、E在运动过程中，正方形DEFG的边长能否与△ABC的外接圆相切？若相切，求出DE的长；若不能，则说明理由．