运用解直角三角形知识解决与生活.生产相关联的应用题. 典型例题 A A/ B/ B C 图19-9 ［例1］如图19-9.——青夏教育精英家教网—

运用解直角三角形知识解决与生活.生产相关联的应用题. 典型例题 A A/ B/ B C 图19-9 ［例1］如图19-9.在垂直于地面的墙上2m的点A斜放一个长2.5m的梯子.由于不小心梯子在墙上下滑0.5m.求梯子在地面上滑出的距离BB/的长度. 分析: BB/的长度应等于B/C的长度减去BC的长度.因为在Rt∆ABC中.已知斜边AB和直角边AC的长.由勾股定理可求得BC的长.又由AA/=0.5m.A/B/=AB.再次运用勾股定理可求出B/C的长. 解: 因为∠ACB=900.AB=2.5m.AC=2m .所以BC==1.5(m) 所以 A/C=2-0.5=1.5(m).A/B/=AB=2.5(m) ∴ B/C= = 2(m) ∴ B/B= B/C-BC=2-1.5=0.5(m). 评注: 本题在理解题意的基础上.抓着梯子的长度不变.两次使用勾股定理.使问题得到解决. ［例2］如图19-10.已知在∆ABC中.∠ACB＝900.AB=5cm.BC=3cm. CD⊥AB于D.求CD的长. 分析:先运用勾股定理求AC.再根据S∆ABC=AB·CD=AC·BD.求出CD之长. C B D A 图19-10 解: 因为∆ABC是直角三角形.AB=5 .BC=3 由勾股定理有AC2=AB2-BC2 ∴ AC==4 又S∆ABC=AB·CD=BC·AC得 CD=(cm). 所以CD的长是 cm. 评注: 已知直角三角形任意两边长或两边关系及第三边的长.就可以求出三角形的未知边长.并可运用面积关系式求出斜边上的高(即弦高公式:两直角边的积等于弦与弦上高的积). ［例3］在一棵树的10m高处有两只猴子.其中一只爬下树走向离树20m池塘.而另一只爬到树顶后直扑池塘.如果两只猴子经过的距离相等.问这一棵树有多高? ［分析］根据题意画出图形.在直角三角形中运用勾股定理求解. D B A C 20 图19-11 解:如图19-11.D为树顶.AB=10m.C为池塘.AC=20m. 设BD的长为x m.则树高为 m. 因为 AC+AB=DB+DC 所以 DC= AC+AB-DB=20+10-x=30-x 在∆ACD中.∠A＝900.所以AC2+AD2=DC2 故202+2=2.解得 x=5 所以 x+10=15. 即这一棵树的高为15m. 评注: 把实际问题变成几何问题.先画出符合题意的图形.设出某线段的长度.列出方程(组)来求解. B c a A b C 图19-12 ［例4］如图19-12所示.在∆ABC中.∠C＝900.a=3.c=6.解这个三角形. 解: b2=c2-a2=(6)-(3)=81 ∴ b=9 又因为sinA= 所以∠A＝300. 又因为∠A+∠B＝900. 所以∠B＝600. ∴ b=9. ∠A＝300 . ∠B＝600. 评注: ⑴ 弄清直角三角形的边角关系是解直角三角形的关键.⑵在应用边角关系求未知边时.应尽是使用已知量.要避免使用中间求出的量.以便减少误差.⑶ 已知两边解直角三角形的思路:①已知两直角边a.b.直角三角形解法为 c=,由tanA=得∠A.∠B=900-∠A. ②已知一直角边a和斜边c.直角三角形解法为 b=,由sinA=得∠A.∠B=900- ∠A. ⑷ 已知一边和一锐角解直角三角形的思路:① 已知一条直角边a和一个锐角A.直角三角形的解法是:∠B=900-∠A.c= b=acotA(或b=) ② 已知斜边c和一个锐角B.直角三角形的解法是:已∠A=900- ∠B.b=csinB, a=ccosB(或a= ).⑸ 要特别注意:凡是“解直角三角形的题目.除题目中的已知元素.须把所有的未知元素全部求出来. ［例5］某市在“旧城改造中计划在市内一块如图19-13所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境.已知∠B=300.∠C=450.AB=20米.且知道这种草皮每平方米售价a元.请你算一算购买这种草皮共需要多少钱? A 20米 300 450 B D C 图19-13 分析: 要求草皮的费用.关键是求S△ABC.故过点A作AD⊥BC于D.构造直角三角形分别求出AD.BD.CD即可. 解:作 AD⊥BC于D.在Rt△ABD中.∠B=300 ∴AD=AB=10m ∴BD= m 在Rt△ADC中.cotC= DC=AD·cot450=10m. ∴S△ABC=·AD=(10+10)×10=50(+1)(m2) ∵每平方米售价为a元. ∴共需要50(+1)a元评注:采用“分割法来构造直角三角形是解决问题的关键.但要特别注意.不要破坏题目中的已知条件.. ［例6］某山区计划修建一条通过小山的公路.经测量.如图19-14.从山底B到山顶A的坡角是300.斜坡AB长为100米.根据地形.要求修好的公路路面BD的坡比=1:5.为了减少工程量.若AD≤20米.则直接开挖修建公路,若AD＞20米.就要重新设计.问这段公路是否需要重新设计? A D i=1: 5 B C 图19-14 ［分析］是否需要重新设计.需比较AD与20的大小关系.即求出AD.由题意.AD=AC-CD.故先求出AC和CD. 解: 在Rt∆ABC中.∠ABC＝300.AB＝100 ∴ AC=AB=50.BC==50 在Rt∆BCD中.i= . CD=10 ∴ AD=AC-DC=50-10＞20. 故这条公路需要重新设计. 评注:弄清名词术语的含义.画出正确的示意图.是解题的关键. A C 图19-15 ［例7］台风是一种自然灾害.它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴.有极强的破坏力.据气象观测.距沿海某城市A的正南方向220km B处有一台风中心.其中心最大风力为12级.每离台风中心20km.风力就会减弱一级.该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东300方向往C移动.且台风中心风力不变.如图19-15.若城市所受风力达到或超过4级.则称为受台风影响. ⑴ 该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由. ⑵ 若会受台风影响.那么台风影响该城市的持续时间有多长? ⑶ 该城市受到台风影响的最大风力为几级? A C F D E B 图19-16 分析: 该城市是否会受到这次台风的影响.取决于该城市距台风中心的最近距离.若大于160km.则不受台风的影响.因风力达到或超过4级称受台风影响.故可计算出该城市从开始受台风影响到结束受台风影响之间的距离除以其速度.即为影响的时间.在离台风中心最近处风力最大. 解:⑴ 如图19-16.由点A作AD⊥BC.垂足为D. 因为AB=220. ∠B=300.所以AD=AB=110. 即点A距台风中心的最近距离为110km.由题意知. 当点A距台风中心不超过160km时.将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响. ⑵在BC上取两点E.F.使AE=AF=160.当台风中心从E处移到F处时.该城市都要受到这次台风的影响.由勾股定理得.DE= 所以EF=60(km) ,因为台风中心以15km/h的速度移动.所以这次台风影响该城市的持续时间为(h) ⑶ 当台风中心位于D处时.A市所受的这次台风的风力最大.其最大风力为12-=6.5(级) 评注:① 此类题目联系生活实际.文字长.数据多.解题时要认真读题.理解题意.注意观察实践与想象.建立数学模型把抽象的问题转化为解直角三角形的问题. ②此题若换成噪音干扰或航海中遭遇暗礁或沙尘暴是否影响的问题.解决问题的方法同上.具体来讲.一是正确画出图形.弄清题意,二是判断会不会受影响的标准是点A到BC的距离是否大于半径. ［例8］今年入夏以来.松花江哈尔滨段水位不断下降.达到历史最低水位.一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行.在A处测得航标C在北偏东600方向上.前进100m到达B处.又测得航标C在北偏东450方向上.在以航标C为圆.120m长为半径的圆形区域内有浅滩.如果这条船继续前进.是否有被浅滩阻碍的危险?( ≈1.73) 分析: 过C作CD⊥AB于D.求出CD的长.若CD＞120m.则无危险,若CD＜120m.则有被浅滩阻碍的危险.可设CD=x.利用Rt ∆ACD.Rt∆CBD结合AB=100m求解. 北北 C 600 450 A B D 东图19-17 解:如图19-18.过点C作CD⊥AB.垂足为D.设CD=x. 在Rt△ADC中.AD=CD·cot∠CAD=CD·cot300=x . 在Rt△BDC中.BD=CD·cot∠CBD=CD·cot450= x . 所以 AB=AD-BD= x-x=(-1)x=100 故CD=x= =50( +1)≈136.5(m)＞120m 所以.若船继续前进没有被浅滩阻碍和危险. A h α β C a D B 图19-18 评注:⑴ 这是一道现实生活会遇到的题目.解题的关键是弄清题意.将实际问题转化为数学模型.即转化为解直角三角形.⑵ 此题型可归纳为一个基本图形.如图19-18.在Rt△ABC中.CB=AB cotα--①在Rt△ADB中.DB=AB·cotβ--② 由①-②得 CB-DB=AB 居民楼新楼 D A 320 B C 图19-19 即 h= ［例9］如图19-19.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼.该居民楼的一楼是高6m的小区超市.超市以上是居民住房.在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为320时.问: ① 超市以上的居民住房采光是否受影响.为什么? ②若要使超市采光不受影响.两楼应相距多少米?(结果保留整数.参考数据 sin320≈,cos320≈,tan32≈) 分析:① 采光是否受影响即指此时太阳光能否照射到居民家中.即太阳光照射到居民楼的高度是否大于6m.② 要不受影响.太阳光线要正好照射到居民楼底.即图中C处. A D F 320 E B C 图19-20 解:① 如图19-20.设CE=x m, 则AF=m. 在Rt△AEF中.tan320= 即 20-x=15×tan320, 解得 x≈11 因为11m＞6m.所以居民住房的采光受影响. ② 如图19-21 在Rt△ABF中.tan320= D A 20 E 320 B 15 C F 图19-21 AB=20.则 BF=≈32 所以两楼应相距32m. 评注:① 解此类实际问题必须理解题意.学会建立数学模型.运用所学知识求解.② 如果题中没有给出sin320.cos320.tan320的函数值.同学们可以使用计算器求到解题过程中需要的值. H A D B C G 图19-22 ［例10］如图19-22.山上有一座铁塔.山脚下有一矩形建筑物ABCD.且建筑物周围没有开阔平坦地带.该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得.从A.D.C三点都可看到塔顶端H.可供使用的测量工具有皮尺.测角器. ① 请你根据现有条件.充分利用矩形建筑物.设计一个测量塔顶到地面高度HG的方案.具体要求如下:⑴ 测量数据尽量少,⑵ 在所给图形上.画出你设计的测量平面图.并将应测数据标记在图形上(如果测A.D间距离用m表示,如果测C.D间距离用n表示.如果测角用α.β.γ表示) ② 根据你测量的数据.计算塔顶到地面的高度HG(用字母表示.测角器高度忽略不计). 解:方案一:①如图19-23-⑴ ② 解设HG=x.在Rt△CHG中.CG=x·cotβ H A D α M n β B C G 图19-23-⑴ 在Rt△DHM中.DM=(x-n)·cotα ∴ x·cotβ=(x-n)·cotα ∴ x= 方案二:① 如图19-23-⑵. ② 设HG=x,在Rt△AHM中.AM=(x-n)·cotγ 在Rt△DHM中. DM=(x-n) ·cotα ∴ ·cotα+m ∴ x= H A γ D α M m n B C G 图19-23-⑵ 评注:熟读题目.理解题意是解题的前提.设计方案时要尽可能和已学过的基本图形联系起来.设计的方案要科学实用. 强化训练【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

21、某校数学兴趣小组的同学用学到的解直角三角形知识测量操场上旗杆的高度．如图，在操场上的A处，他们利用测角仪器测得旗杆CD顶端的仰角为23°，再沿AC方向前进20米到达B处，又测得旗杆CD顶端的仰角为36°，已知测角仪器的高度为1.2米，求旗杆CD的高度（精确到0.1米）．

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小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）

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长为

mm．”（精确到1mm）
（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）

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（本小题满分8分）小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）