探索研究：
已知A，B在数轴上分别表示a、b．利用数形结合思想回答下列问题：
（1）填写下表：

数	列A	列B	列C	列D	列E	列F
a	5	-5	-6	-6	-10	-2.5
b	3	0	4	-4	2	-2.5
A，B两点的距离	2		10			5

（2）任取上表一列数，通过观察研究可知：数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为．
（3）若A，B两点的距离为d，则d与a、b有何数量关系：．
（4）若x表示一个有理数，且-3＜x＜1，则|x-1|+|x+3|=．

探索与应用．
先填写下表，通过观察后再回答问题：

a	…	0.0001	0.01	1	100	10000	…
a	…	0.01	x	1	y	100	…

（1）表格中x=；y=；
（2）从表格中探究a与

a

数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知

10

≈3.16，则

1000

≈；
②已知

3.24

=1.8，若

a

=180，则a=．

如图：已知反比例C₁：y=

k1

x

；C₂：y=

k2

x

，且k₁＞k₂＞0，点P是双曲线C₁上的一点，过P点引x、y轴的平行线交双曲线C₂于A、B两点，连接AB．
（1）当取k₁=4，k₂=1，
①点P坐标为（2，2）时，则S_三角形ABP=；
②点P坐标为（1，4）时，S_三角形ABP=．
（2）通过观察、思考（1）的计算结果，你能猜想到△ABP的面积有何规律或特征？并请你用含k₁、k₂的代数式表示△ABP的面积．

我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数．
（1）通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a、b、c为Rt△ABC的三边，且a＜b＜c）：

（2）我们发现，表一中a为大于l的奇数，此时b、c的数量关系是；表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是；
（3）一般地，对于表一，用含a的代数式表示b=；对于表二，用含a的代数式表示b=；
（4）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，l2，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系…．请直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当a=

3

5

，b=

4

5

时，斜边c的值．

观察下列运算：
①由(

2

+1)(

2

-1)=1，得

1

2 +1

=

2

-1；
②由(

3

+

2

)(

3

-

2

)=1，得

1

3 + 2

=

3

-

2

；
③由(

4

+

3

)(

4

-

3

)=1，得

1

4 + 3

=

4

-

3

；
④由(

5

+

4

)(

5

-

4

)=1，得

1

5 + 4

=

5

-

4

；
…
（1）通过观察，将你发现的规律用含有n的式子表示出来，并注明n的取值；
（2）利用你发现的规律，计算：

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+

1

5 + 4

+…+

1

2011 + 2010

．