如图1和图2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=．
探究　如图1，AH⊥BC于点H，则AH=______，AC=______，△ABC的面积S_△ABC=______．
拓展　如图2，点D在AC上（可以与点A、C重合），分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD=x，AE=m，CF=n，
（1）用含x，m或n的代数式表示S_△ABD及S_△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现　请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并直接写出这个最小值．

情境观察　将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ D，如图1所示．将△D的顶点与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A()、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是________，∠CA＝________°．

问题探究　如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展延伸　如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB＝kAE，AC＝kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．