如图，ABCD是一张矩形纸片，AB=20cm，BC=16cm，在AD边上取一点H，将纸片沿BH翻折，使点A恰好落在DC边上的点E处，过点E作EF∥AD交HB于点F．
（1）求EF的长．
（2）若点M自点H沿HE方向以1cm/s的速度向E点运动（不与H，E重合），过点M作MN∥EF交HB于点N，如图2，将△HMN沿MN对折，点H的对应点为H₁，若△H₁MN与四边形MNFE重叠部分的面积为S，点M运动的时间为t秒，问当t为何值时，S有最大值，最大值是多少．
（3）当（2）问，点M自点H沿HE方向以1cm/s的速度向E点运动的同时点Q从点E出发，以2cm/s的速度运动，当点Q到达F点时M，Q停止运动，连接MF，是否存在某一时刻t，使点Q在线段MF的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．