已知四边形ABCD是边长为4的正方形.以AB为直径在正方形内作半圆.P是半圆上的动点.连接PA.PB.PC.PD． (1)如图①.当PA的长度等于 2时.∠PAD=60°,当PA的长度等于 2或——青夏教育精英家教网—

已知四边形ABCD是边长为4的正方形.以AB为直径在正方形内作半圆.P是半圆上的动点.连接PA.PB.PC.PD． (1)如图①.当PA的长度等于 2时.∠PAD=60°,当PA的长度等于 2或时.△PAD是等腰三角形, (2)如图②.以AB边所在直线为x轴.AD边所在直线为y轴.建立如图所示的直角坐标系.把△PAD.△PAB.△PBC的面积分别记为S1.S2.S3．设P点坐标为(a.b).试求2S1S3﹣S22的最大值.并求出此时a.b的值．考点:相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,正方形的性质,圆周角定理,解直角三角形. 专题:几何综合题,数形结合,方程思想. 分析:(1)由AB是直径.可得∠APB=90°.然后利用三角函数即可求得PA的长,当PA=PB时.△PAB是等腰三角形.然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案． (2)过点P分别作PE⊥AB.PF⊥AD.垂足分别为E.F延长FP交BC于点G.则PG⊥BC.P点坐标为(a.b).PE=b.PF=a.PG=4﹣a.利用矩形的面积关系与二次函数的知识即可求得答案．解答:解:(1)若∠PAD=60°.需∠PAB=30°. ∵AB是直径. ∴∠APB=90°. ∴PB=2. 则PA=2. ∴当PA的长度等于2时.∠PAD=60°, 若△PAD是等腰三角形.则只能是PA=PD. 过点P作PE⊥AD于E.作PM⊥AB于M. 则四边形EAMP是矩形. ∴PM=PE=AB=2. ∵PM2=AM•BM=4. ∵AM+BM=4. ∴AM=2. ∴PA=2. 同理可得P在P′时.PA=PB. 此时:PA=, ∴当PA的长度等于2或时.△PAD是等腰三角形, (2)过点P分别作PE⊥AB.PF⊥AD.垂足分别为E.F延长FP交BC于点G. 则PG⊥BC. ∵P点坐标为(a.b). ∴PE=b.PF=a.PG=4﹣a. 在△PAD.△PAB及△PBC中. S1=2a.S2=2b.S3=8﹣2a. ∵AB为直径. ∴∠APB=90°. ∴PE2=AE•BE. 即b2=a. ∴2S1S3﹣S22=4a﹣4b2=﹣4b2+16a=﹣42+16. ∴当a=2时.b=2.2S1S3﹣S22有最大值16．点评:此题考查了正方形的性质.圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强.解题时要注意数形结合与方程思想的应用．【查看更多】

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