已知定义在R上的函数f(x)＝(sinωx+acosωx)(a∈R.0＜ω≤1)满足:f(x)＝f(-x).f(x-π)＝f(x+π)． (I)求f(x)的解析式, (II)若m2-4n＞——青夏教育精英家教网—

已知定义在R上的函数f(x)＝(sinωx+acosωx)(a∈R.0＜ω≤1)满足:f(x)＝f(-x).f(x-π)＝f(x+π)． (I)求f(x)的解析式, (II)若m2-4n＞0.m.n∈R.求证:“|m|+|n|＜1 是“方程[f(x)]2+mf(x)+n＝0在区间(-.)内有两个不等的实根的充分不必要条件．解:(I)由f(x-π)＝f(x+π)知f(x)＝f(x+2π).即函数f(x)的周期为2π． ∵ f(x)＝(sinωx+acosωx)＝sin(ωx+j).其中sinj＝.cosj＝. ∴ ≤2π.即|ω|≥1．又0＜ω≤1.∴ ω＝1．又∵ f(x)＝f(-x).∴ f(0)＝f(). 即 (sin0+acos0)＝(sin+acos).解得 a＝.∴ f(x)＝sin(x+)． (II)显然.x∈(-.)等价于x+∈(-.)．令u＝x+.f(x)＝t.g(t)＝t2+mt+n.则f(x)＝sinu. 由|m|+|n|＜1得|m+n|≤|m|+|n|＜1.∴ m+n＞-1．同理由|m-n|≤|m|+|n|＜1得m-n＜1． ∴ g(1)＝m+n+1＞0.g(-1)＝1-m+n＞0．又∵|m|≤|m|+|n|＜1.∴-∈．又∵Δ＝m2-4n＞0.∴ 一元二次方程t2+mt+n＝0在区间内有两个不等的实根． ∵ 函数y＝sinu(u∈(-.))与u＝x+(x∈(-.))都是增函数. ∴ [f(x)]2+mf(x)+n＝0在区间(-.)内有两个不等实根． ∴ “|m|+|n|＜1 是“方程[f(x)]2+mf(x)+n＝0在区间(-.)内有两个不等实根的充分条件．令m＝.n＝.由于方程t2+t+＝0有两个不等的实根-.-.且-.-∈. ∴ 方程sin2(x+)+sin(x+)+＝0在(-.)内有两个不等的实根. 但 |m|+|n|＝+＝1. 故“|m|+|n|＜1 不是“方程[f(x)]2+mf(x)+n＝0在区间(-.)内有两个不等实根的必要条件．综上.“|m|+|n|＜1 是“方程[f(x)]2+mf(x)+n＝0在区间(-.)内有两个不等实根的充分不必要条件．已知函数f(x)＝ax-2-1(a＞0.a≠1). (I)求函数f(x)的定义域.值域, (II)是否存在实数.使得函数f(x)满足:对于区间上使函数f(x)有意义的一切x.都有f(x)≥0. (I)解:由4-ax≥0,得ax≤4．当a＞1时.x≤loga4,当0＜a＜1时.x≥loga4．即当a＞1时.f(x)的定义域为(-∞.loga4],当0＜a＜1时.f(x)的定义域为[loga4.+∞)．令t＝.则0≤t＜2.且ax＝4-t2.∴ f(x)＝4-t2-2t-1＝-(t+1)2+4. 当t≥0时.f(x)是t的单调减函数.∴f(2)＜f(x)≤f(0).即-5＜f(x)≤3. ∴ 函数f(x)的值域是(-5.3]． (II)若存在实数a使得对于区间上使函数f(x)有意义的一切x.都有f(x)≥0.则区间是定义域的子集．由(I)知.a＞1不满足条件,若0＜a＜1.则loga4＜2.且f(x)是x的减函数．当x＞2时.ax＜a2．由于0＜a2＜1.∴t＝＞.∴f(x)＜0.即f(x)≥0不成立．综上.满足条件的a的取值范围是Æ．如图.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形.且PD＝a.PA＝PC＝a． (Ⅰ)求证:直线PD⊥平面ABCD, (Ⅱ)求二面角A-PB-D的大小． (Ⅰ)证明:∵ 在ΔPDA中.AD＝a.PD＝a.PA＝a.) ∴ AD2+PD2＝PA2.即 PD⊥AD．同理.PD⊥CD．又AD.CDÌ平面ABCD.ADCD＝D.∴ 直线PD⊥平面ABCD, (Ⅱ)解:如图.连接AC和BD.设ACBD＝O．由(I)知AC⊥PD．又 AC⊥BD.且PD.BDÌ平面PBD.PDBD＝D. ∴ 直线AC⊥平面PBD．过点O作OE⊥PB.E为垂足.连接AE．由三垂线定理知 AE⊥PB.∴ ∠AEO为二面角A-PB-D的平面角． ∵ AB⊥AD.由三垂线定理知 AB⊥PA. ∴ 在ΔPAB中.AE＝＝a.在ΔABD中.OA＝a. 在ΔAOE中.sin∠AEO＝＝＝.即 ∠AEO＝60o.∴ 二面角A-PB-D为60o．以100元/件的价格购进一批羊毛衫.以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高.购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫.无论销售淡季还是旺季.进货价都是100/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示: ①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数, ②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的倍, ③在销售旺季.商场以140元/件价格销售时能获取最大利润． (I)分别求该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季最高价格, (II)问:在淡季销售时.商场要获取最大利润.羊毛衫的标价应定为多少? 解:设在旺季销售时.羊毛衫的标价为x元/件.购买人数为kx+b(k＜0). 则旺季的最高价格为-元/件.利润函 L(x)＝(x-100)·(kx+b)＝kx2-(100k-b)-100b.x∈[100.-]. 当x＝＝50- 时.L(x)最大.由题意知.50- ＝140.解得 - ＝180. 即旺季的最高价格是180.则淡季的最高价格是180×＝120．现设淡季销售时.羊毛衫的标价为t元/件.购买人数为mt+n(m＜0). 则淡季的最高价格为-＝120.即n＝-120m. 利润函数L(t)＝(t-100)·(mt+n)＝(t-100)·(mt-120m) ＝-m(t-100)·(120-t).t∈[100.120]． ∴ t-100＝120-t.即t＝110时.L(t)为最大. ∴ 在淡季销售时.商场要获取最大利润.羊毛衫的标价应定为110元/件．已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4＝28且a3+2是a2.a4的等差中项． (I)求数列{an}的通项公式an, (II)若bn＝anlogan.Sn＝b1+b2+-+bn.求使Sn+n·2n+1＞50成立的正整数n的最小值．解:(I)设此等比数列为a1.a1q.a1q2.a1q3.其中a1≠0.q≠0．由题知由②×7-①得 6a1q3-15a1q2+6a1q＝0. 即 2q2-5q+2＝0. 解得 q＝2或q＝． ∵ 等比数列{an}单调递增.∴a1＝2.q＝2.∴ an＝2·2n-1＝2n．得 bn＝anlogan＝2nlog2n＝-n·2n. ∴ Sn＝b1+b2+-+bn＝-(1×2+2×22+3×23+-+n·2n)．设 Tn＝1×2+2×22+3×23+-+n·2n. ③ 则 2Tn＝ 1×22+2×23+3×24+-+n·2n+1. ④ 由③-④得 -Tn＝1×2+1×22+1×23+-+1×2n-n·2n+1 ＝2n+1-2-n·2n+1＝-(n-1)2n+1-2. ∴ Sn＝-(n-1)·2n+1-2．要使Sn+n·2n+1＞30成立.即要 -(n-1)·2n+1-2+n·2n+1＞50. 即要 2n＞26． ⑤ ∵ 函数y＝2x是单调增函数.且24＝16＜26.35＝32＞26. 由⑤得n的最小值是5．已知F1.F2(2.0)是椭圆C的两个焦点.过F1的直线与椭圆C的两个交点为M.N.且|MN|的最小值为6． (I)求椭圆C的方程, (II)设A.B为椭圆C的长轴顶点．当|MN|取最小值时.求∠AMB的大小．解:(Ⅰ)由题意.设椭圆C的方程为+＝1(a＞b＞0).其中c＝2.a2-b2＝4．设M(x1.y1).N(x2.y2)．若直线MN⊥x轴.则MN的方程为x＝-2.代入+＝1.得y2＝b2(1-)＝. ∴ |y1-y2|＝.即|AB|＝．若直线MN不与x轴垂直.则设MN的方程为y＝k(x+2).代入+＝1. 得 +＝1. 即 (a2k2+b2)x2+4a2k2x+a2(4k2-b2)＝0． △＝(4a2k2)2-4(a2k2+b2)a2(4k2-b2)＝4a2b2[(a2-4)k2+b2]＝4a2b4(1+k2). ∴ |x1-x2|＝. ∴ |MN|＝·＝＝·＞．综上.|MN|的最小值为．由题知＝6.即 b2＝3a．代入a2-b2＝4.得a2-3a-4＝0.解得a＝-1(舍).或a＝4．∴ b2＝12． ∴ 椭圆C的方程为+＝1．知A.B(4.0)．当|MN|取得最小值时.MN⊥x轴．根据椭圆的对称性.不妨取M.∠AMB即直线AM到直线MB的角． ∵ AM的斜率k1＝＝.BM的斜率k2＝＝-. ∴ tan∠AMB＝＝＝-8． ∵ ∠AMB∈.∴ ∠AMB＝π-arctan8．【查看更多】

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(本小题满分12分) 已知定义在R上的函数f(x)=的周期为，