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    应用求导法则 (1)应用之一:对复合函数式求导 例2 求下列函数的导数: (1) y=; (2)y=sinx ; (3)y=cos(3x-); (4)y= 请学生上台完成. 答案:(1); (2)2xcosx; (3)-3sin(3x-); (4) 注:这里有分式型,根式型,三角函数型的复合函数求导. 师生一起评议.可表扬四位学生完成得较好.接着提请注意,熟练后可省写步骤,并作示范. 如,解(1)可表达为y==-4.这里最后结果可写负指数或分数指数. 出示教科书例3并讲解. 其中对u=求u.可让学生在草稿上完成.此处.教师可作如下指导: 方法一 按商的求导法则求导. 方法二 先化为u=-1+.即u=-1+v.v=1-x.按复合函数求导. (2)应用之二 解简单的应用问题 增例 当n*时.求证:C+2C+C+--+nC=n2. 引导学生分析.联想到二项展开式(1+x)=C+C X+C X+--+C X.(*) 对比展开式通项C x与待证和式通项kC,可决定对(*)式求导并赋值x=1证得. 视学生水平由教师讲解或学生完全证明. 证明:由(1+x)=C+C x+C x+--+C x, 两边对x求导,得 n(1+x)﹒1=0+C+2 x+--+nC x, 令x=1,得 n﹒2=C+2C+--+nC. 注:应向学生讲清(1+x)是作为复合函数对x求导的. 对此题在思考.在<<排列,组合和概率>>一章中,我们用的证法是倒序相加法,通项变换法,不妨重温一下. 方法一 倒序相加法 令S=C+2C+--+(n-1) n+n C (1)式右边倒序,写为 =n+(n-1)+(n-2)+--+ 注意到组合数性质 = (2) 式可改写为 =n +(n-1) +(n-2)+--+ 将两式相加得 2=n(+++--++) 即2S=n2 S=n2 即C+2 C+--+n C=n2 方法二 通项变化法 k=k=n=n 即 k=n 在这一等式中顺次取k=1.2--,n,并相加得 C+2 C+-- +n C=n C+n C+--+n C =n (C+ C+-- + C) =n 2 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    试根据复合函数的求导法则，研究函数f（x）=xx（x＞0）的性质，并回答：下列命题中假命题的个数是（　　）
    ①f（x）的极大值为1；
    ②f（x）的极小值为1；
    ③f（x）的一个单调递增区间是(
    1
    10
    ，10)    ．
    A、0B、1C、2D、3

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    请先阅读：
    在等式cos2x=2cos2x-1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求导法则，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．
    （1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=
    n
    k=2
    k
    C
    k
    n
    xk-1    ．
    （2）对于正整数n≥3，求证：
    （i）
    n
    k=1
    (-1)kk
    C
    k
    n
    =0    ；
    （ii）
    n
    k=1
    (-1)kk2
    C
    k
    n
    =0    ；
    （iii）
    n
    k=1
    1
    k+1
    C
    k
    n
    =
    2n+1-1
    n+1
    ．

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    请先阅读：
    设可导函数 f（x） 满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
    在等式f（-x）=-f（x） 的两边对x求导，
    得（f（-x））′=（-f（x））′，
    由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
    化简得等式f′（-x）=f′（x）．
    （Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式(1+x)n=
    C
    0
    n
    +
    C
    1
    n
    x+
    C
    2
    n
    x2+…+
    C
    n
    n
    xn    （x∈R，整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=2
    C
    2
    n
    x+3
    C
    3
    n
    x2+4
    C
    4
    n
    x3+…+n
    C
    n
    n
    xn-1    ；
    （Ⅱ）当整数n≥3时，求
    C
    1
    n
    -2
    C
    2
    n
    +3
    C
    3
    n
    -…+(-1)n-1n
    C
    n
    n
    的值；
    （Ⅲ）当整数n≥3时，证明：2
    C
    2
    n
    -3•2
    C
    3
    n
    +4•3
    C
    4
    n
    +…+(-1)n-2n(n-1)
    C
    n
    n
    =0    ．

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    请先阅读：

    在等式（）的两边求导，得：，

    由求导法则，得，化简得等式：。

    （1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：。

    （2）对于正整数，求证：

    （i）；  （ii）；  （iii）。

     

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    请先阅读:在等式的两边对x求导

    ．由求导法则得化简后得等式利用上述想法(或者其他方法),试由等式

    ,

    证明

     

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