（本小题满分12分）如图，斜三棱柱，已知侧面与底面ABC垂直且∠BCA =90°，∠，=2，若二面角为30°.   （Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求与平面所成角的正切值；

（Ⅲ）在平面内找一点P，使三棱锥为正三棱锥，并求P到平面距离.

（本小题满分12分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm²）最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm³）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

（本小题满分12分）

        如图，A、B分别是椭圆的公共左右顶点，P、Q分别位于椭圆和双曲线上且不同于A、B的两点，设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄且k₁+k₂­+k₃+k₄=0。

   （1）求证：O、P、Q三点共线；（O为坐标原点）

   （2）设F₁、F₂分别是椭圆和双曲线的右焦点，已知PF₁//QF₂，求的值。

（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，已知侧面与底面垂直，且，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）在平面内找一点P，使三棱锥为正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面内的射影为底面的中心），并求此三棱锥体积．

（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，已知侧面与底面垂直，且，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）在平面内找一点P，使三棱锥为正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面内的射影为底面的中心），并求此三棱锥体积．