例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点.AB=2.OT=t .以AB为直腰作直角梯形.使垂直且等于AT.使垂直且等于BT.交半圆于P.Q两点.建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线的方程, (2)计算出点P.Q的坐标, (3)证明:由点P发出的光线.经AB反射后.反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出点的坐标. (1 ) 显然, 于是直线的方程为, (2)由方程组解出 ., (3), . 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知.由点P发出的光线经点T反射.反射光线通过点Q. 需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗? 例2 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q.且与x轴.y轴分别交于R.S.求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．讲解:从直线所处的位置, 设出直线的方程, 由已知.直线l不过椭圆的四个顶点.所以设直线l的方程为代入椭圆方程得化简后.得关于的一元二次方程于是其判别式由已知.得△=0．即 ① 在直线方程中.分别令y=0.x=0.求得令顶点P的坐标为(x.y). 由已知.得代入①式并整理.得 , 即为所求顶点P的轨迹方程．方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例3已知双曲线的离心率.过的直线到原点的距离是 (1)求双曲线的方程, (2)已知直线交双曲线于不同的点C.D且C.D都在以B为圆心的圆上.求k的值. 讲解:∵(1)原点到直线AB:的距离. 故所求双曲线方程为 (2)把中消去y.整理得 . 设的中点是.则即故所求k=±. 为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 例4 已知椭圆C的中心在原点.焦点F1.F2在x轴上.点P为椭圆上的一个动点.且∠F1PF2的最大值为90°.直线l过左焦点F1与椭圆交于A.B两点.△ABF2的面积最大值为12． (1)求椭圆C的离心率, (2)求椭圆C的方程．讲解:(1)设, 对由余弦定理, 得 . 解出 (2)考虑直线的斜率的存在性.可分两种情况: i) 当k存在时.设l的方程为------① 椭圆方程为由得 . 于是椭圆方程可转化为 ------② 将①代入②.消去得 , 整理为的一元二次方程.得 . 则x1.x2是上述方程的两根．且 . 也可这样求解: . AB边上的高 ii) 当k不存在时.把直线代入椭圆方程得由①②知S的最大值为由题意得=12 所以故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为: 下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣: 设过左焦点的直线方程为:----① (这样设直线方程的好处是什么?还请读者进一步反思反思.) 椭圆的方程为: 由得:于是椭圆方程可化为:--② 把①代入②并整理得: 于是是上述方程的两根. , AB边上的高, 从而当且仅当m=0取等号.即由题意知, 于是 . 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为: 例5 已知直线与椭圆相交于A.B两点.且线段AB的中点在直线上. (1)求此椭圆的离心率, (2 )若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上.求此椭圆的方程. 讲解:(1)设A.B两点的坐标分别为得 , 根据韦达定理.得 ∴线段AB的中点坐标为(). 由已知得故椭圆的离心率为 . 知从而椭圆的右焦点坐标为设关于直线的对称点为解得由已知得故所求的椭圆方程为 . 例6 已知⊙M:轴上的动点.QA.QB分别切⊙M于A.B两点. (1)如果.求直线MQ的方程, (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程. 讲解:(1)由.可得由射影定理.得在Rt△MOQ中. . 故. 所以直线AB方程是 (2)连接MB.MQ.设由点M.P.Q在一直线上.得由射影定理得即把消去a.并注意到.可得适时应用平面几何知识.这是快速解答本题的要害所在.还请读者反思其中的奥妙. 例7 如图.在Rt△ABC中.∠CBA=90°.AB=2.AC=.DO⊥AB于O点.OA=OB.DO=2.曲线E过C点.动点P在E上运动.且保持| PA |+| PB |的值不变. (1)建立适当的坐标系.求曲线E的方程, (2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M.N且M在D.N之间.设. 试确定实数的取值范围．讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示 . ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y C = A O B ∴动点P的轨迹是椭圆 . ∵ ∴曲线E的方程是 . (2)设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程.得设M1(, 则 ① ② ③ i) L与y轴重合时. ii) L与y轴不重合时. 由①得又∵, ∵ 或 ∴0＜＜1 , ∴ . ∵ 而 ∴ ∴ ∴ , , ∴的取值范围是 . 值得读者注意的是.直线L与y轴重合的情况易于遗漏.应当引起警惕. 例8 直线过抛物线的焦点.且与抛物线相交于A两点. (1)求证:; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦CD.直线l不是CD的垂直平分线. 讲解: (1)易求得抛物线的焦点. 若l⊥x轴.则l的方程为. 若l不垂直于x轴.可设,代入抛物线方程整理得 . 综上可知 . (2)设.则CD的垂直平分线的方程为假设过F.则整理得 .. 这时的方程为y=0.从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点.因此与l不重合.l不是CD的垂直平分线. 此题是课本题的深化.你能够找到它的原形吗?知识在记忆中积累.能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点.复课切忌忘掉课本! 例9 某工程要将直线公路l一侧的土石.通过公路上的两个道口A和B.沿着道路AP.BP运往公路另一侧的P处.PA=100m.PB=150m.∠APB=60°.试说明怎样运土石最省工? 讲解: 以直线l为x轴.线段AB的中点为原点对立直角坐标系.则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点.设这样的点为M.则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即 |MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50, , ∴M在双曲线的右支上. 故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处.曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处.按这种方法运土石最省工. 相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及.其实在课本中还可找到典型的范例.你知道吗? 解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法. 【查看更多】

已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB＝2、OT＝t(0＜ｔ＜1)，以AB为直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系．

(Ⅰ)写出直线的方程；

(Ⅱ)计算出点P、Q的坐标；

(Ⅲ)证明：沿PT射出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q．

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已知T是半圆O的直径AB上一点，AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB为腰的直角梯形AA₁B₁B中，AA₁垂直于AT，且|AA₁|=|AT|，BB₁垂直于BT，且|BB₁|=|BT|，A₁B₁交半圆于P，Q两点，建立如图所示直角坐标系，O为坐标原点．
（Ⅰ）求直线A₁B₁的方程；
（Ⅱ）求P，Q两点的坐标；
（Ⅲ）证明：由点P发出的光线PT，经AB反射后，反射光线通过点Q．

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已知T是半圆O的直径AB上一点，AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB为腰的直角梯形AA₁B₁B中，AA₁垂直于AT，且|AA₁|=|AT|，BB₁垂直于BT，且|BB₁|=|BT|，A₁B₁交半圆于P，Q两点，建立如图所示直角坐标系，O为坐标原点．
（Ⅰ）求直线A₁B₁的方程；　　　　　　　
（Ⅱ）求P，Q两点的坐标；
（Ⅲ）证明：由点P发出的光线PT，经AB反射后，反射光线通过点Q．

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在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
B．已知二阶矩阵A=

2	a
b	0

属于特征值-1的一个特征向量为

1

-3

，求矩阵A的逆矩阵．

C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直线l的参数方程为

x=-

3

t

y=1+t

（t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

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在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
B．已知二阶矩阵

属于特征值-1的一个特征向量为

，求矩阵A的逆矩阵．

C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直线l的参数方程为

（t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

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