在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若点满足()，点的轨迹与抛物线：交于、两点．

(1)求证：⊥；

(2)在轴上是否存在一点，使得过点任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，请求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线y=x²上有一点A（a，a²），a∈（0，1），过点A引抛物线的切线l分别交x轴与直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于点D．
（1）求切线l的方程；
（2）求图中阴影部分的面积S（a），并求a为何值时，S（a）有最小值？

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M （1，-3）、N（5，1），若点C满足

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），点C的轨迹与抛物线：y²=4x交于A、B两点．
（1）求证：

OA

⊥

OB

；
（2）在x轴上是否存在一点P （m，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．