例1.已知定点P(6.4)与定直线1:y=4x.过P点的直线与1交于第一象限Q点.与x轴正半轴交于点M.求使△OQM面积最小的直线᠊——青夏教育精英家教网—

例1.已知定点P(6.4)与定直线1:y=4x.过P点的直线与1交于第一象限Q点.与x轴正半轴交于点M.求使△OQM面积最小的直线方程. 解题思路分析: 直线是过点P的旋转直线.因此是选其斜率k作为参数.还是选择点Q作为参数是本题关键. 通过比较可以发现.选k作为参数.运算量稍大.因此选用点参数. 设Q(x0.4x0).M(m.0) ∵ Q.P.M共线 ∴ kPQ=kPM ∴ 解之得: ∵ x0>0.m>0 ∴ x0-1>0 ∴ 令x0-1=t.则t>0 ≥40 当且仅当t=1.x0=11时.等号成立此时Q.直线:x+y-10=0 评注:本题通过引入参数.建立了关于目标函数S△OQM的函数关系式.再由基本不等式再此目标函数的最值.要学会选择适当参数.在解析几何中.斜率k.截距b.角度θ.点的坐标都是常用参数.特别是点参数. 例2.已知△ABC中.A.求: (1)BC边上的高所在直线方程,∠A平分线所在直线方程. 解题思路分析: (1)∵ kBC=5 ∴ BC边上的高AD所在直线斜率k= ∴ AD所在直线方程y+1=(x-2) 即x+5y+3=0 .kAB=2 ∴ AB中垂线方程为x+2y-5=0 (3)设∠A平分线为AE.斜率为k.则直线AC到AE的角等于AE到AB的角. ∵ kAC=-1.kAB=2 ∴ ∴ k2+6k-1=0 ∴ k=-3-(舍).k=-3+ ∴ AE所在直线方程为(-3)x-y-2+5=0 评注:在求角A平分线时.必须结合图形对斜率k进行取舍.一般地涉及到角平分线这类问题时.都要对两解进行取舍.也可用轨迹思想求AE所在直线方程.设P(x.y)为直线AE上任一点.则P到AB.AC距离相等.得.化简即可.还可注意到.AB与AC关于AE对称. 例3..B(3.2).圆心在直线2x-y-3=0上圆方程, 关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上.且与直线x-y+1=0相交的弦长为.求圆方程. 解题思路分析: 研究圆的问题.既要理解代数方法.熟练运用解方程思想.又要重视几何性质及定义的运用.以降低运算量.总之.要数形结合.拓宽解题思路. (1)法一:从数的角度若选用标准式:设圆心P(x.y).则由|PA|=|PB|得:(x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2 又2x0-y0-3=0 两方程联立得:.|PA|= ∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10 若选用一般式:设圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.则圆心() ∴ 解之得: 法二:从形的角度 AB为圆的弦.由平几知识知.圆心P应在AB中垂线x=4上.则由得圆心P(4.5) ∴ 半径r=|PA|= 显然.充分利用平几知识明显降低了计算量 (2)设A关于直线x+2y=0的对称点为A’ 由已知AA’为圆的弦 ∴ AA’对称轴x+2y=0过圆心设圆心P.半径为R 则R=|PA|=2+(a-3)2 又弦长. ∴ ∴ 4(a+1)2+(a-3)2=2+ ∴ a=-7或a=-3 当a=-7时.R=,当a=-3时.R= ∴ 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或2+(y+7)2=244 例4.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.求圆半径r取值范围,(3)求圆心轨迹方程. 解题思路分析: ]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0.即7m2-6m-1<0 ∴ (3)半径r= ∵ ∴ 时. ∴ 0<r≤ .则消去m得:y=4(x-3)2-1 又 ∴ ∴ 所求轨迹方程为(x-3)2=(y+1)() 例5.如图.过圆O:x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线.M为上任一点.过M作圆O的另一条切线.切点为Q.求△MAQ垂心P的轨迹方程. 解题思路分析: 从寻找点P满足的几何条件着手.着眼于平几知识的运用. 连OQ.则由OQ⊥MQ.AP⊥MQ得OQ∥AP 同理.OA∥PQ 又OA=OQ ∴ OAPQ为菱形 ∴ |PA|=|OA|=2 设P(x.y).Q(x0.y0).则又x02+y02=4 ∴ x2+(y-2)2=4 评注:一般说来.当涉及到圆的切线时.总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系,涉及到圆的弦时.常取弦的中点.考虑圆心.弦的中点.弦的端点组成的直角三角形. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知定点P在定圆O的圆内或圆周上，圆C经过点P且与定圆O相切，则动圆C的圆心轨迹是

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A．

圆或椭圆或双曲线

B．

两条射线或圆或抛物线

C．

两条射线或圆或椭圆

D．

椭圆或双曲线或抛物线

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