例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.E.F.G.H分别为棱BC.CC1.C1D1.AA1的中点.O为AC与BD的交点EG∥平面BB1D1D,(2)平面BDF∥平面B1D1H,(3)A1O⊥平面——青夏教育精英家教网—

例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.E.F.G.H分别为棱BC.CC1.C1D1.AA1的中点.O为AC与BD的交点EG∥平面BB1D1D,(2)平面BDF∥平面B1D1H,(3)A1O⊥平面BDF,(4)平面BDF⊥平面AA1C. 解析: (1)欲证EG∥平面BB1D1D.须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线.构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’.显然BO’即是. (2)按线线平行线面平行面面平行的思路.在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线.转化为证明:B1D1∥平面BDF.O’H∥平面BDF. (3)为证A1O⊥平面BDF.由三垂线定理.易得BD⊥A1O.再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线. 猜想A1O⊥OF.借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得:A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF. (4)∵ CC1⊥平面AC ∴ CC1⊥BD 又BD⊥AC ∴ BD⊥平面AA1C 又BD平面BDF ∴ 平面BDF⊥平面AA1C 例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.M为DD1中点.O为底面ABCD的中心.P为棱A1B1上任意一点.则直线OP与直线AM所成的角是 A. B. C. D. 解析: 取P点的特殊点A1.连OA1.在底面上过O作OE⊥AD于E.连A1E ∵ OE⊥平面ADD1A1.AM⊥A1E 根据三垂线定理.得:AM⊥OA1 ∴ 选D 评注:化“动为“定是处理“动的思路例3.如图.三棱锥D-ABC中.平面ABD.平面ABC均为等腰直角三角形.∠ABC= ∠BAD=900.其腰BC=a.且二面角D-AB-C=600. (1)求异面直线DA与BC所成的角, (2)求异面直线BD与AC所成的角, (3)求D到BC的距离, (4)求异面直线BD与AC的距离. 解析: (1)在平面ABC内作AE∥BC.从而得∠DAE=600 ∴ DA与BC成600角 (2)过B作BF∥AC.交EA延长线于F.则∠DBF为BD与AC所成的角由△DAF易得AF=a.DA=a.∠DAF=1200 ∴ DF2=a2+a2-2a2·()=3a2 ∴ DF=a △DBF中.BF=AC=a ∴ cos∠DBF= ∴ 异面直线BD与AC成角arccos (3)∵ BA⊥平面ADE ∴ 平面DAE⊥平面ABC 故取AE中点M.则有DM⊥平面ABC,取BC中点N.由MN⊥BC.根据三垂线定理.DN⊥BC ∴ DN是D到BC的距离在△DMN中.DM=a.MN=a ∴ DN=a (4)∵ BF平面BDF.AC平面BDF.AC∥BF ∴ AC∥平面BDF 又BD平面BDF ∴ AC与BD的距离即AC到平面BDF的距离 ∵ . ∴ 由.即异面直线BD与AC的距离为评注:三棱锥的等体积变换求高.也是求点到面距离的常用方法. 例4.如图.在600的二面角α-CD-β中.ACα.BDβ.且ACD=450.tg∠BDC=2.CD=a.AC=x.BD=x.当x为何值时.A.B的距离最小?并求此距离. 解析: 作AE⊥CD于E.BF⊥CD于F.则EF为异面直线AE.BF的公垂段.AE与BF成600角.可求得|AB|=.当x=时.|AB|有最小值. 评注:转化为求异面直线上两点间距离的最小值. 例5.如图.斜三棱柱ABC-A’B’C’中.底面是边长为a的正三角形.侧棱长为 b.侧棱AA’与底面相邻两边AB.AC都成450角.求此三棱柱的侧面积和体积. 解析: 在侧面AB’内作BD⊥AA’于D 连结CD ∵ AC=AB.AD=AD.∠DAB=∠DAC=450 ∴ △DAB≌△DAC ∴ ∠CDA=∠BDA=900.BD=CD ∴ BD⊥AA’.CD⊥AA’ ∴ △DBC是斜三棱柱的直截面在Rt△ADB中.BD=AB·sin450= ∴ △DBC的周长=BD+CD+BC=(+1)a.△DBC的面积= ∴ S侧=b=(+1)ab ∴ V=·AA’= 评注:求斜棱柱的侧面积有两种方法.一是判断各侧面的形状.求各侧面的面积之和.二是求直截面的周长与侧棱的乘积.求体积时同样可以利用直截面.即V=直截面面积×侧棱长. 例6.在三棱锥P-ABC中.PC=16cm.AB=18cm.PA=PB=AC=BC=17cm.求三棱锥的体积VP-ABC. 解析: 取PC和AB的中点M和N ∴ 在△AMB中.AM2=BM2=172-82=25×9 ∴ AM=BM=15cm.MN2=152-92=24×6 ∴ S△AMB=×AB×MN=×18×12=108(cm2) ∴ VP-ABC=×16×108=576(cm3) 评注:把一个几何体分割成若干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法.这样分割的结果.一方面便于求体积.另一方面便于利用体积的相关性质.如等底等高的锥体的体积相等.等底的两个锥体的体积的比等于相应高的比.等等. 【查看更多】

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