设函数f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：f_K（x）=，取函数f（x）=a¹¹（a＞1）．当K=时，函数f（x）值域是

若函数f（x）=ax³-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值-

4

3

．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）若关于x的方程f（x）=k有三个零点，求实数k的取值范围．

已知函数f（x）=ax²+lnx，（x＞0）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）令g（x）=x³+（a-2e）x²+（a+e²）x（其中e为自然对数的底数），讨论函数H（x）=f（x）-g（x）的零点的个数；
（3）若函数y=f（x）的图象上任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂），都满足x1＜

1

k

＜x2（其中k是直线AB的斜率），则称函数y=f（x）为优美函数，当a=0时，函数f（x）是否是优美函数，如果是，请证明，如果不是，请说明理由．

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，函数f（x）=

1

2

px2一（p+q）x+qlnx（其中p，q均为常数，且p＞q＞0），当x=a₁时，函数f（x）取得极小值，点（a_n，2S_n）（n∈N*）均在函数y=2px²-

q

x

+f'（x）+q的图象上．（其中f'（x）是函数f（x）的导函数）
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=

4Sn

n+3

•qn，求数列{b_n}的前n项和T_n．