设直线相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F。

   （1）证明：；

   （2）若F是椭圆的一个焦点，且以AB为直径的圆过原点，求a²。

设直线相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F。

   （1）证明：；

   （2）若F是椭圆的一个焦点，且以AB为直径的圆过原点，求a²。

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，直线l：y=x+2

2

与以原点为圆心、以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C₁的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F₂，求四边形ABCD的面积的最小值．

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）过椭圆C₁的左顶点A做直线m，与圆O相交于两点R、S，若△ORS是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．