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    例1．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称.且f(x)＝x2+2x． (Ⅰ)求函数g(x)的解析式,(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|, (Ⅲ)若h(x)＝g(x)-f(x)+1在[-1.1]上是增函数.求实数的取值范围. 解:的图象上任一点Q(xqλ,yq关于原点的对称点(x,y), 则即∵点Qxq,yq)在函数f(x)的图象上,∴-y=-x2+2x.,故g(x)=-x2+2x ≥f(x)-|x-1|可得2x2-|x-1|≤0,当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解, 当x<1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集为[-1, ] x2+2x+1 ① 当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1 ② 当λ≠-1时,对称轴的方程为x=. (i) 当λ<-1时, ≤-1,解得λ<-1. (ii) 当λ>-1时, ≥-1,解得-1<λ≤0. 综上,λ≤0 例2.已知函数 (Ⅰ)当a=2时.求使f(x)＝x成立的x的集合, (Ⅱ)求函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值. 解:(1)当a=2时,.则方程f(x)=x即为 解方程得: 当a>0时,.作出其草图见右, 易知f (x)有两个极值点借助于图像可知,当时.函数f (x)在区间[1,2]上为增函数.此时 当时,显然此时函数的最小值为 当时..此时f(x)在区间为增函数.在区间上为减函数. ∴.又可得 ∴ 则当时..此时 当时..此时 当时.,此时f(x)在区间[1,2]为增函数.故 (II)当时..此时f(x)在区间[1,2]也为增函数.故 (III)当时.其草图见右 显然函数f(x)在区间[1,2]为增函数.故 例3.已知函数f(x)＝lnx.g(x)＝ax2+bx.a≠0. (Ⅰ)若b＝2.且h(x)＝f(x)-g(x)存在单调递减区间.求a的取值范围, (Ⅱ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P.Q.过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1.C2于点M.N.证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 解:(I).则 因为函数h(x)存在单调递减区间.所以<0有解. 又因为x>0时.则ax2+2x-1>0有x>0的解. ①当a>0时.y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线.ax2+2x-1>0总有x>0的解, ②当a<0时.y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线.而ax2+2x-1>0总有x>0的解, 则△=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根.此时.-1<a<0. 综上所述.a的取值范围为. (II)证法一 设点P.Q的坐标分别是(x1, y1).(x2, y2).0<x1<x2. 则点M.N的横坐标为 C1在点M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率为 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行.则k1=k2. 即. 则 = 所以 设则① 令则 因为时..所以在)上单调递增. 故 则. 这与①矛盾.假设不成立. 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 证法二:同证法一得 因为.所以 令.得 ② 令 因为.所以时. 故在[1.+上单调递增.从而.即 于是在[1.+上单调递增. 故即这与②矛盾.假设不成立. 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 例4. 已知函数y＝f (x)是定义在上的周期函数.周期T=5.函数是奇函数又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函数.在[1,4]上是二次函数.且在x=2时函数取得最小值. ①证明:,②求的解析式,③求在[4,9]上的解析式. 解:∵f (x)是以为周期的周期函数.∴. 又∵是奇函数.∴.∴ ②当时.由题意可设. 由得.∴. ∴ ③∵是奇函数.∴. 又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函数.∴可设.而. ∴.∴当时.f (x)=-3x. 从而当时..故时.f (x)= -3x.. ∴当时.有.∴0. 当时..∴ ∴ 例5:已知函数f(x)在上有定义.f()=-1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x.y∈都有f(x)+f(y)=f(),试证明: (1)f(x)为奇函数,(2)f(x)在上单调递减. -- 证明: (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0, 令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0. ∴f(x)=-f(-x). ∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0.1)上单调递减. 令0<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f() ∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0.∴>0, 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0.∴x2-x1<1-x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0. 即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0.1)上为减函数.又f(x)为奇函数且f(0)=0 ∴f(x)在上为减函数. 例6．设.点P(t.0)是函数的图象的一个公共点.两函数的图象在点P处有相同的切线.(Ⅰ)用t表示a.b.c, (Ⅱ)若函数在上单调递减.求t的取值范围. 解:(I)因为函数f (x),g.所以. 即.因为所以. 又因为f (x),g处有相同的切线.所以 而 将代入上式得 因此故.. (II)解法一. 当时.函数y= f (x)-g(x)单调递减. 由.若,若 由题意.函数y= f (x)-g上单调递减. 则所以 又当时.函数y= f (x)-g上单调递减. 所以的取值范围为 解法二: 因为函数y= f (x)-g上单调递减.且是上的抛物线. 所以 即 所以的取值范围为 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数f(x)=
    ax
    b
    的图象过点A(4，
    1
    2
    )    和B（5，1）．
    ①求函数f（x）的解析式；②函数f（x）的反函数；③设an=log2f（n），n是正整数，是数列的前项和Sn，解关于的不等式an≤Sn．

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    已知函数f(x)=
    lnx
    x
    的图象为曲线C，函数g(x)=
    1
    2
    ax+b    的图象为直线l．
    （Ⅰ） 设m＞0，当x∈（m，+∞）时，证明：(x+m)ln
    x
    m
    -2(x-m)＞0
    （Ⅱ） 设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：（x1+x2）g（x1+x2）＞2．

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    若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则称函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．

    (1)已知函数f(x)＝的图象关于点(0,1)对称，求实数m的值；

    (2)已知函数g(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的图象关于点(0,1)对称，且当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝x2＋ax＋1，求函数g(x)在(－∞，0)上的解析式；

    (3)在(1)(2)的条件下，当t＞0时，若对任意实数x∈(－∞，0)，恒有g(x)＜f(t)成立，求实数a的取值范围．

     

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    若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则称函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
    (1)已知函数f(x)＝的图象关于点(0,1)对称，求实数m的值；
    (2)已知函数g(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的图象关于点(0,1)对称，且当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝x2＋ax＋1，求函数g(x)在(－∞，0)上的解析式；
    (3)在(1)(2)的条件下，当t＞0时，若对任意实数x∈(－∞，0)，恒有g(x)＜f(t)成立，求实数a的取值范围．

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    已知函数f(x)=abx的图象过点A(4,)和B(5,1).

    (1)求函数f(x)的解析式;

    (2)记an=log2f(n),n是正整数,Sn是数列{an}的前n项和,解关于n的不等式anSn≤0;

    (3)对于(2)中的an与Sn,整数104是否为数列{anSn}中的项?若是,则求出相应的项数;若不是,请说明理由.

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