例1. 设函数.(1)在区间[-2,6]上画出函数的图像, (2)设集合. 试判断集合和之间的关系.并给出证明, (3)当时.求证:在区间上.的图像位于函数f(x)图像的上方. 解:方程的解分别是和.由于在和[2,5]上单调递减.在[-1,2]和上单调递增.因此 . 由于. (3)[解法一] 当时.. . . 又. ① 当.即时.取. . . 则. ② 当.即时.取. ＝. 由 ①.②可知.当时... 因此.在区间上.的图像位于函数图像的上方. [解法二] 当时..由得. 令 . 解得或. 在区间[-1,5]上.当时.的图像与函数f(x)的图像只交于一点, 当时.的图像与函数f(x)的图像没有交点. 如图可知.由于直线过点.当时.直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此.在区间上.的图像位于函数f(x)图像的上方. 例2.(全国卷Ⅱ理17设函数.求使的取值范围．解:由于是增函数.等价于① ⑴当时..∴①式恒成立. ⑵当时..①式化为.即. ⑶当时..①式无解. 综上.的取值范围为例3．已知函数(a.b为常数)且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4. (1)求函数f(x)的解析式, (2)设k>1.解关于x的不等式, [正确解答](1)将得 (2)不等式即为即 ①当 ②当 ③. 例4.设.函数若的解集为A..求实数的取值范围. 解:由f(x)为二次函数知.令f(x)＝0解得其两根为由此可知 (i)当时.的充要条件是.即解得 (ii)当时.的充要条件是.即解得综上.使成立的a的取值范围为例5.(本题共有3个小题.第1小题满分4分.第2小题满分8分.第3小题满分6分.计18分)对定义域是.的函数y=f.规定:函数. (1)若函数..写出函数的解析式,中函数的值域, (3)若.其中是常数.且.请设计一个定义域为R的函数.及一个的值.使得.并予以证明. 解(3)[解法一]令则于是 [解法二]令. 则于是例6．设的值域为[-1.4].求a.b的值. 例7:已知函数f(x)=,x∈［1,+∞.(1)当a=0.5时.求函数f(x)的最小值 (2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立.试求实数a的取值范围 (1)解当a=时.f(x)=x++2 ∵f(x)在区间［1.+∞上为增函数.∴f(x)在区间［1.+∞上的最小值为f(1)= (2)解法一在区间［1.+∞上.f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞.∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1递增. ∴当x=1时.ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时.函数f(x)>0恒成立.故a>-3 ? 解法二 f(x)=x++2,x∈［1,+∞ 当a≥0时.函数f(x)的值恒为正, 当a<0时.函数f(x)递增.故当x=1时.f(x)min=3+a, 当且仅当f(x)min=3+a>0时.函数f(x)>0恒成立.故a>-3 点评本题主要考查函数的最小值以及单调性问题.着重于学生的综合分析能力以及运算能力解题的关健是把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围.体现了转化的思想与分类讨论的思想【查看更多】

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设函数